📐 Eğim (Doğrunun Eğimi) - 11. Sınıf Konu Anlatımı
Eğim, bir doğrunun ne kadar dik olduğunu gösteren bir sayıdır. Günlük hayatta rampaların, yolların veya çatlakların eğimini hesaplarken kullanırız. Matematikte de doğrusal denklemleri ve grafikleri anlamamız için çok önemlidir.
❓ Eğim Nedir?
Eğim, bir doğrunun yatay eksene (x ekseni) göre ne kadar yükseldiğini (veya alçaldığını) gösterir. Başka bir deyişle, doğrunun dikey değişiminin (y ekseni üzerindeki değişim) yatay değişimine (x ekseni üzerindeki değişim) oranıdır.
Eğim genellikle "m" harfi ile gösterilir.
📏 Eğim Nasıl Hesaplanır?
Eğimi hesaplamak için iki farklı yöntem kullanabiliriz:
1. İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi
2. Denklemi Bilinen Doğrunun Eğimi
1️⃣ İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi
Eğer doğrunun üzerindeki iki noktayı biliyorsak, eğimi şu formülle hesaplayabiliriz:
m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
Burada:
* (x₁, y₁) doğrunun üzerindeki ilk noktanın koordinatları
* (x₂, y₂) doğrunun üzerindeki ikinci noktanın koordinatları
💡 **Örnek:**
A(2, 3) ve B(6, 11) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.
m = (11 - 3) / (6 - 2) = 8 / 4 = 2
Bu doğrunun eğimi 2'dir. Yani, doğru sağa doğru gittikçe yukarı doğru yükseliyor.
2️⃣ Denklemi Bilinen Doğrunun Eğimi
Eğer doğrunun denklemi biliyorsak, eğimi denklemi düzenleyerek bulabiliriz. Doğru denklemi genellikle şu şekilde ifade edilir:
y = mx + n
Burada:
* m doğrunun eğimi
* n doğrunun y eksenini kestiği nokta (y-keseni)
💡 **Örnek:**
3y = 6x + 9 doğrusunun eğimini bulalım.
Öncelikle denklemi y = mx + n şeklinde düzenlemeliyiz. Her iki tarafı 3'e bölelim:
y = 2x + 3
Bu durumda, doğrunun eğimi m = 2'dir.
➕ Eğim Türleri
Eğimin değerine göre doğrunun yönü ve özellikleri değişir:
* 📈 **Pozitif Eğim:** Doğru, sola aşağıdan sağa yukarı doğru yükselir. (m > 0)
* 📉 **Negatif Eğim:** Doğru, sola yukarıdan sağa aşağı doğru alçalır. (m < 0)
* ➖ **Sıfır Eğim:** Doğru yataydır (x eksenine paraleldir). (m = 0)
* ➗ **Tanımsız Eğim:** Doğru dikeydir (y eksenine paraleldir). (Eğim tanımsızdır, payda sıfır olur)
✍️ Çözümlü Örnekler
🍎 **Örnek 1:**
A(-1, 4) ve B(3, -2) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.
Çözüm:
m = (-2 - 4) / (3 - (-1)) = -6 / 4 = -3/2
🍐 **Örnek 2:**
2y + 4x - 6 = 0 doğrusunun eğimini bulunuz.
Çözüm:
Denklemi düzenleyelim:
2y = -4x + 6
y = -2x + 3
Doğrunun eğimi m = -2'dir.
🍇 **Örnek 3:**
Eğimi 3 olan ve A(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm:
Doğru denklemi y = mx + n şeklindedir. m = 3 olduğunu biliyoruz.
y = 3x + n
A(1, 2) noktası doğrunun üzerinde olduğuna göre, bu noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır:
2 = 3(1) + n
2 = 3 + n
n = -1
O halde, doğrunun denklemi y = 3x - 1'dir.
📝 Önemli Notlar
- 🍎 Eğim, bir doğrunun ne kadar dik olduğunu gösterir.
- 🍐 Eğim, iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır.
- 🍊 Pozitif eğim, doğrunun yukarı doğru yükseldiğini gösterir.
- 🍋 Negatif eğim, doğrunun aşağı doğru alçaldığını gösterir.
- 🍌 Sıfır eğim, doğrunun yatay olduğunu gösterir.
- 🍉 Tanımsız eğim, doğrunun dikey olduğunu gösterir.
