İşçi problemleri formülü

Question

İşçi problemlerinde işçilerin hızlarını ve birlikte çalışınca geçen süreyi bulmakta zorlanıyorum. Özellikle bir işçi tek başına kaç günde bitirir gibi sorularda formülü nasıl kuracağımı karıştırıyorum. Temel mantığı ve formülü basit bir şekilde anlatan bir açıklama arıyorum.

Answer 1

# 📘 Ders Notu: İşçi Problemleri Formülü ve Çözüm Yöntemleri

🔧 İşçi Problemleri Nedir?

İşçi problemleri, matematikte oran-orantı ve birim zamanda yapılan iş kavramları üzerine kurulu, günlük hayatla iç içe olan bir konudur. Temel mantık, farklı kapasitelerdeki işçilerin birlikte veya ayrı ayrı çalışarak bir işi tamamlama sürelerini hesaplamaktır.

📌 Temel Kavramlar ve Formüller

⚙️ 1. İş-Zaman İlişkisi

Bir işçi bir işi \( t \) günde bitiriyorsa, bu işçinin günlük iş kapasitesi (yapabildiği iş miktarı) işin \( \frac{1}{t} \)'sidir.

Örneğin: Ali bir duvarı 10 günde örüyorsa, Ali'nin günlük iş gücü \( \frac{1}{10} \)'dur.

🧮 2. Temel Formül

İşin tamamına 1 diyelim. Birden fazla işçi birlikte çalışıyorsa:

\[ \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \dots + \frac{1}{t_n} \right) \cdot x = 1 \]

Burada:

• \( t_1, t_2, \dots, t_n \): İşçilerin tek başlarına işi bitirme süreleri
• \( x \): Birlikte çalışarak işi bitirme süreleri
• \( \frac{1}{t_n} \): İşçilerin birim zamanda yaptığı iş

🎯 Çözüm Adımları (Algoritmik Yaklaşım)

📝 Adım 1: İşin tamamını 1 kabul et

İş miktarı bilinmiyorsa veya oranlama yapılacaksa, işin tamamına 1 değerini ver.

📝 Adım 2: Birim zamanda yapılan işi bul

Her işçi için: \( \text{Birim zamanda yapılan iş} = \frac{1}{\text{Tek başına bitirme süresi}} \)**

📝 Adım 3: Toplam iş gücünü hesapla

Birlikte çalışan işçilerin birim zamandaki işlerini topla.

📝 Adım 4: Denklemi kur ve çöz

\( (\text{Toplam iş gücü}) \times (\text{Geçen süre}) = 1 \)** denklemini kur ve bilinmeyeni bul.

📊 Örnek Problem ve Çözümü

🧱 Örnek:

"Ahmet bir işi 12 günde, Mehmet aynı işi 18 günde bitiriyor. İkisi birlikte çalışırsa bu iş kaç günde biter?"

✅ Çözüm:

1. İşin tamamı = 1
2. Ahmet'in günlük işi: \( \frac{1}{12} \)
3. Mehmet'in günlük işi: \( \frac{1}{18} \)
4. İkisinin birlikte günlük işi: \( \frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36} \)
5. Denklem: \( \frac{5}{36} \times x = 1 \)
6. \( x = \frac{36}{5} = 7,2 \) gün (7 gün 4 saat 48 dakika)

⚠️ Dikkat Edilmesi Gereken Özel Durumlar

🔄 1. İşçilerin Farklı Süreler Çalışması

Örneğin: "Ahmet 3 gün, Mehmet 5 gün çalışırsa..." gibi durumlarda:

\( \frac{3}{12} + \frac{5}{18} = \text{Yapılan iş miktarı} \) şeklinde hesapla.

⏸️ 2. İşe Ara Verme veya Ayrılma

İşçilerin farklı zamanlarda işe başlaması veya ayrılması durumunda, her gün için ayrı hesaplama yapılmalıdır.

🔢 3. İş Miktarının 1'den Farklı Olması

Bazen iş miktarı 1 değil de belirli bir sayı olarak verilebilir (örneğin 100 parça üretim). Bu durumda denklem:

\( (\text{Toplam iş gücü}) \times (\text{Zaman}) = \text{İş miktarı} \) şeklinde olur.

💡 Pratik Yöntem (Hızlı Çözüm Formülü)

İki işçi için pratik formül:

\[ \text{Birlikte bitirme süresi} = \frac{t_1 \times t_2}{t_1 + t_2} \]

Örneğin yukarıdaki soruda: \( \frac{12 \times 18}{12 + 18} = \frac{216}{30} = 7,2 \) gün

📈 Sık Karşılaşılan Soru Tipleri

• 🎭 İşe farklı zamanlarda başlama
• 🔄 İşçi değişim problemleri
• ⚖️ Verimlilik farkı (A işçisi B'nin 2 katı hızlı çalışıyor)
• ⏱️ İşin bir kısmının bitirilmesi
• 👥 Üç veya daha fazla işçi problemleri

🔑 Anahtar Hatırlatma

İşçi problemlerinin temelinde ters orantı yatar: Bir işçi ne kadar hızlı çalışıyorsa (yani işi bitirme süresi azsa), birim zamanda yaptığı iş o kadar fazladır. Her zaman birim zamanda yapılan iş üzerinden düşünmek, problemi çözmeyi kolaylaştırır.

Ödev: "Ayşe bir işi 15 günde, Fatma 10 günde, ikisi birlikte 3 gün çalıştıktan sonra Fatma işi bırakıyor. Kalan işi Ayşe tek başına kaç günde bitirir?" sorusunu yukarıdaki adımları takip ederek çözünüz.