9. Sınıf Eşit Kümeler Nedir? Test 2

A = {1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümelerinden biri olan B kümesi için B ≠ A ve B ≠ ∅ koşulu sağlanmaktadır. B kümesi ile eşit olabilecek kaç farklı C kümesi vardır?

A) 14
B) 15
C) 16
D) 17

Merhaba sevgili öğrencilerim,

Bu soruda, belirli koşulları sağlayan bir küme olan $B$ kümesi ile eşit olabilecek kaç farklı $C$ kümesi olduğunu bulmamız isteniyor. Aslında bu, $B$ kümesinin kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini bulmakla aynı anlama geliyor. Hadi adım adım bu soruyu çözelim!

• Adım 1: $A$ kümesinin eleman sayısını belirleyelim.

  Bize verilen $A$ kümesi $A = \{1, 2, 3, 4\}$ şeklindedir. Bu kümenin $4$ tane elemanı vardır. Yani, $n(A) = 4$ diyebiliriz.

• Adım 2: $A$ kümesinin tüm alt kümelerinin sayısını bulalım.

  Bir kümenin eleman sayısı $n$ ise, bu kümenin toplam $2^n$ tane alt kümesi vardır. $A$ kümesinin $4$ elemanı olduğu için, toplam alt küme sayısı $2^4$ olacaktır.

  $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.

  Yani, $A$ kümesinin toplam $16$ tane alt kümesi vardır.

• Adım 3: $B$ kümesi için verilen koşulları inceleyelim.

  $B$ kümesi, $A$ kümesinin bir alt kümesidir. Ancak iki önemli koşul daha var:

  • $B \neq A$: Bu, $B$ kümesinin $A$ kümesinin kendisine eşit olamayacağı anlamına gelir. Yani, $A$ kümesinin kendisi olan $\{1, 2, 3, 4\}$ kümesini $B$ olarak alamayız. Bu, $1$ tane alt kümeyi elememiz gerektiği anlamına gelir.
  • $B \neq \emptyset$: Bu, $B$ kümesinin boş küme olamayacağı anlamına gelir. Yani, $\emptyset$ (hiç elemanı olmayan küme) kümesini $B$ olarak alamayız. Bu da $1$ tane alt kümeyi daha elememiz gerektiği anlamına gelir.
• Adım 4: Koşulları sağlayan $B$ kümesi sayısını bulalım.

  Toplam $16$ alt kümemiz vardı. Bu alt kümelerden $A$ kümesinin kendisini ($1$ tane) ve boş kümeyi ($1$ tane) çıkarmamız gerekiyor. Yani, toplam $1+1=2$ tane alt kümeyi eleyeceğiz.

  Koşulları sağlayan $B$ kümesi sayısı = (Toplam alt küme sayısı) - (Elenecek alt küme sayısı)

  Koşulları sağlayan $B$ kümesi sayısı = $16 - 2 = 14$.

• Adım 5: $C$ kümesi sayısını belirleyelim.

  Soruda $B$ kümesi ile eşit olabilecek kaç farklı $C$ kümesi olduğu soruluyor. Eğer $C = B$ ise, $B$ kümesinin alabileceği her farklı değer için $C$ kümesi de farklı bir değer alacaktır. Dolayısıyla, $B$ kümesinin alabileceği farklı değer sayısı kadar $C$ kümesi de farklı değer alabilir.

  Biz $B$ kümesinin $14$ farklı şekilde oluşturulabileceğini bulduk. Bu durumda, $C$ kümesi de $14$ farklı şekilde oluşturulabilir.

Bu yüzden, $B$ kümesi ile eşit olabilecek $14$ farklı $C$ kümesi vardır.

Cevap A seçeneğidir.