A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi veriliyor. p: "x ∈ A, x < 3" ve q: "x ∈ A, x tek sayı" önermeleri için "p VEYA q" önermesini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?
A) 2Sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen bir küme ve iki önerme var. Bizden istenen ise "p VEYA q" önermesini sağlayan kaç farklı $x$ değeri olduğunu bulmak. Adım adım ilerleyelim:
1. Adım: Verilen küme $A$'yı inceleyelim.
Kümemiz $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ olarak verilmiş. Bu küme, üzerinde işlem yapacağımız tüm olası $x$ değerlerini içeriyor.
2. Adım: $p$ önermesini sağlayan $x$ değerlerini bulalım.
$p$: "$x \in A, x < 3$" önermesi, $A$ kümesindeki 3'ten küçük sayıları ifade eder. $A$ kümesindeki sayılara baktığımızda, 3'ten küçük olanlar $1$ ve $2$'dir. Diğer sayılar ($3, 4, 5$) 3'ten küçük değildir.
O halde, $p$ önermesini sağlayan $x$ değerleri kümesi $P = \{1, 2\}$'dir.
3. Adım: $q$ önermesini sağlayan $x$ değerlerini bulalım.
$q$: "$x \in A, x$ tek sayı" önermesi, $A$ kümesindeki tek sayıları ifade eder. $A$ kümesindeki sayılara baktığımızda, tek olanlar $1, 3$ ve $5$'tir. Diğer sayılar ($2, 4$) çift sayıdır.
O halde, $q$ önermesini sağlayan $x$ değerleri kümesi $Q = \{1, 3, 5\}$'tir.
4. Adım: "$p \text{ VEYA } q$" önermesinin anlamını kavrayalım.
Mantıkta "VEYA" bağlacı (sembolü $V$), bir önermenin doğru olması için en az bir bileşen önermenin doğru olmasını gerektirir. Yani, "$p \text{ VEYA } q$" önermesi, $x$ değerinin ya $p$'yi sağlaması (yani $x < 3$ olması) ya $q$'yu sağlaması (yani $x$ tek sayı olması) ya da hem $p$'yi hem de $q$'yu sağlaması durumunda doğru olur. Bu, kümeler teorisinde birleşim ($P \cup Q$) işlemine karşılık gelir.
5. Adım: "$p \text{ VEYA } q$" önermesini sağlayan $x$ değerlerini bulalım.
$p$'yi sağlayan değerler kümesi $P = \{1, 2\}$ idi.
$q$'yu sağlayan değerler kümesi $Q = \{1, 3, 5\}$ idi.
"p VEYA q" önermesini sağlayan değerler, bu iki kümenin birleşimi olan $P \cup Q$ kümesinin elemanlarıdır. Birleşim kümesini bulurken, her iki kümede bulunan elemanları birer kez yazarız:
$P \cup Q = \{1, 2\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 2, 3, 5\}$
6. Adım: Sonucu belirleyelim.
"p VEYA q" önermesini sağlayan $x$ değerleri $\{1, 2, 3, 5\}$ kümesidir. Bu kümede kaç farklı eleman olduğunu sayarsak:
Eleman sayısı = $4$
Bu durumda, "p VEYA q" önermesini sağlayan 4 farklı $x$ değeri vardır.
Cevap C seçeneğidir.
