9. Sınıf Temel Orantı Teoremi Nedir? Test 2

ABCD yamuğunda [AB] // [CD] // [EF] olacak şekilde E ve F noktaları sırasıyla [AD] ve [BC] kenarları üzerindedir. |AB| = 15 cm, |CD| = 9 cm ve |DE|/|EA| = 2/3 olduğuna göre |EF| kaç cm'dir?

A) 10.2
B) 11.4
C) 12.6
D) 13.8

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir yamukta, tabanlara paralel çizilen bir doğru parçasının uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözmek için özel bir formül kullanabiliriz veya benzer üçgenler yardımıyla adım adım ilerleyebiliriz. En pratik yol, yamukta paralel doğru parçasının uzunluğunu veren formülü kullanmaktır.

• Verilen Bilgileri Anlayalım:
  • ABCD bir yamuk ve $[AB] // [CD] // [EF]$ verilmiş. Bu, $EF$ doğru parçasının yamuğun tabanlarına paralel olduğunu gösterir.
  • Taban uzunlukları: $|AB| = 15$ cm (uzun taban), $|CD| = 9$ cm (kısa taban).
  • $E$ noktası $[AD]$ üzerinde, $F$ noktası $[BC]$ üzerindedir.
  • Yan kenar $[AD]$ üzerindeki oran: $|DE|/|EA| = 2/3$. Bu oranı $k$ cinsinden ifade edebiliriz: $|DE| = 2k$ ve $|EA| = 3k$ diyebiliriz. Bu durumda yan kenarın toplam uzunluğu $|AD| = |DE| + |EA| = 2k + 3k = 5k$ olur.
• Kullanacağımız Formül:

  Bir yamukta tabanlara paralel olan ve yan kenarları belirli bir oranda bölen bir doğru parçasının uzunluğu, tabanların ve yan kenar parçalarının uzunluklarının ağırlıklı ortalaması şeklinde bulunur. Formülümüz şöyledir:

  $|EF| = \frac{|EA| \cdot |CD| + |DE| \cdot |AB|}{|EA| + |DE|}$

  Bu formül, $E$ noktasının $A$ köşesine olan uzaklığı ($|EA|$) ile karşı tabanın ($|CD|$) çarpımını ve $E$ noktasının $D$ köşesine olan uzaklığı ($|DE|$) ile diğer tabanın ($|AB|$) çarpımını toplayıp, yan kenar parçalarının toplamına ($|EA| + |DE|$) bölerek elde edilir.

• Değerleri Formülde Yerine Koyalım:
  • $|EA| = 3k$
  • $|CD| = 9$ cm
  • $|DE| = 2k$
  • $|AB| = 15$ cm
  • $|EA| + |DE| = 3k + 2k = 5k$

  Şimdi bu değerleri formüle yerleştirelim:

  $|EF| = \frac{(3k) \cdot (9) + (2k) \cdot (15)}{3k + 2k}$

• Hesaplamayı Yapalım:

  $|EF| = \frac{27k + 30k}{5k}$

  $|EF| = \frac{57k}{5k}$

  $k$ değerleri birbirini götürecektir:

  $|EF| = \frac{57}{5}$

  $|EF| = 11.4$ cm

Böylece, $EF$ doğru parçasının uzunluğunu $11.4$ cm olarak bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.