"∃x ∈ ℕ, 2x + 1 = 6" nicelemesinin doğruluk değeri nedir?
A) Doğrudur çünkü x=2,5 için eşitlik sağlanırBu soruda verilen nicelemenin doğruluk değerini adım adım inceleyelim:
Verilen niceleme "$ \exists x \in \mathbb{N}, 2x + 1 = 6 $" şeklindedir.
"$ \exists x \in \mathbb{N} $" ifadesi, "Doğal sayılar kümesinde öyle bir $x$ vardır ki..." anlamına gelir. Doğal sayılar kümesi $ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\} $ (pozitif tam sayılar) olarak kabul edilir. "$ 2x + 1 = 6 $" ise $x$'in sağlaması gereken koşuldur.
Dolayısıyla, niceleme bize "Doğal sayılar kümesinde, $2x + 1 = 6$ denklemini sağlayan bir $x$ değeri var mıdır?" diye soruyor.
Şimdi $2x + 1 = 6$ denklemini $x$ için çözelim:
$2x + 1 = 6$
Her iki taraftan $1$ çıkaralım: $2x = 6 - 1$
$2x = 5$
Her iki tarafı $2$'ye bölelim: $x = \frac{5}{2}$
Yani $x = 2.5$ bulunur.
Denklemin çözümü $x = 2.5$ olarak bulundu. Şimdi bu değerin doğal sayılar kümesi $ \mathbb{N} $ içinde olup olmadığını kontrol etmeliyiz.
Doğal sayılar kümesi $ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\} $ tam ve pozitif sayılardan oluşur.
$2.5$ bir tam sayı değildir, bir ondalık sayıdır. Dolayısıyla $2.5 \notin \mathbb{N}$'dir.
Bu durumda, $2x + 1 = 6$ denklemini sağlayan hiçbir doğal sayı $x$ değeri yoktur.
Niceleme "$ \exists x \in \mathbb{N}, 2x + 1 = 6 $" ifadesi, doğal sayılar içinde denklemi sağlayan bir $x$ değeri olduğunu iddia ediyordu. Ancak yaptığımız çözümde böyle bir $x$ değeri bulamadık.
Bu nedenle, niceleme yanlıştır.
Şimdi seçenekleri inceleyelim ve hangisinin doğru açıklamayı sunduğunu belirleyelim:
A) Doğrudur çünkü $x=2.5$ için eşitlik sağlanır: Eşitlik $x=2.5$ için sağlanır, evet. Ancak $2.5$ bir doğal sayı değildir ($2.5 \notin \mathbb{N}$). Niceleme doğal sayılar kümesinde bir çözüm aradığı için bu seçenek yanlıştır.
B) Doğrudur çünkü $x=3$ için eşitlik sağlanır: $x=3$ için denklemi kontrol edelim: $2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$. $7 \neq 6$ olduğu için $x=3$ eşitliği sağlamaz. Bu seçenek yanlıştır.
C) Yanlıştır çünkü doğal sayılar kümesinde çözüm yoktur: Bu ifade, bizim bulduğumuz sonuçla tamamen örtüşmektedir. Denklem doğal sayılar kümesinde bir çözüme sahip değildir, bu yüzden niceleme yanlıştır. Bu doğru seçenektir.
D) Yanlıştır çünkü $x=2$ için eşitlik sağlanmaz: $x=2$ için denklemi kontrol edelim: $2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$. $5 \neq 6$ olduğu için $x=2$ eşitliği sağlamaz. Ancak nicelemenin yanlış olmasının temel nedeni, *hiçbir* doğal sayı için çözüm olmamasıdır, sadece $x=2$ için değil. C seçeneği daha kapsayıcı ve doğru bir açıklamadır.
Cevap C seçeneğidir.
