A = {1, 2, 3, 4} kümesi veriliyor. "∀x ∈ A, x < 5" önermesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Yanlıştır çünkü 4 < 5 değildir
B) Yanlıştır çünkü 5 kümede yoktur
C) Doğrudur çünkü kümedeki tüm elemanlar 5'ten küçüktür
D) Doğrudur çünkü bazı elemanlar 5'ten küçüktür
Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen önermenin ne anlama geldiğini anlamamız ve ardından kümedeki elemanları bu önermeye göre kontrol etmemiz gerekiyor.
- Önermeyi Anlayalım: Verilen önerme "$\forall x \in A, x < 5$" şeklindedir.
- "$\forall$" sembolü "her" veya "tüm" anlamına gelen evrensel niceleyicidir.
- "$\forall x \in A$" ifadesi, "$A$ kümesindeki her $x$ elemanı için" demektir.
- "$x < 5$" ise, $x$ elemanının 5'ten küçük olma koşuludur.
Yani önerme, "$A$ kümesindeki tüm elemanlar 5'ten küçüktür." anlamına gelmektedir.
- Kümedeki Elemanları Kontrol Edelim: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ kümesinin elemanlarını tek tek inceleyelim ve her birinin 5'ten küçük olup olmadığını kontrol edelim:
- $1 \in A$ ve $1 < 5$ (Doğru)
- $2 \in A$ ve $2 < 5$ (Doğru)
- $3 \in A$ ve $3 < 5$ (Doğru)
- $4 \in A$ ve $4 < 5$ (Doğru)
Gördüğümüz gibi, $A$ kümesindeki tüm elemanlar ($1, 2, 3, 4$) 5'ten küçüktür. Bu durumda, "$\forall x \in A, x < 5$" önermesi doğrudur.
- Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) Yanlıştır çünkü 4 < 5 değildir: Bu seçenek yanlıştır. Çünkü $4 < 5$ ifadesi doğrudur. Dolayısıyla verilen gerekçe hatalıdır.
- B) Yanlıştır çünkü 5 kümede yoktur: Bu seçenek yanlıştır. Önerme, $A$ kümesindeki elemanların 5'ten küçük olup olmadığını sorgular, 5'in $A$ kümesinde olup olmadığını değil. 5'in $A$ kümesinde olmaması önermenin doğruluğunu etkilemez.
- C) Doğrudur çünkü kümedeki tüm elemanlar 5'ten küçüktür: Bu seçenek doğrudur. Yaptığımız kontrol sonucunda $A$ kümesindeki tüm elemanların ($1, 2, 3, 4$) 5'ten küçük olduğunu bulduk. Bu da önermenin doğru olduğunu gösterir.
- D) Doğrudur çünkü bazı elemanlar 5'ten küçüktür: Bu seçenek kısmen doğru gibi görünse de, "$\forall$" (tüm) niceleyicisi için "bazı" ifadesi yeterli bir gerekçe değildir. Önermenin doğru olması için *tüm* elemanların koşulu sağlaması gerekir. Ancak önermenin doğru olduğu tespiti doğrudur, sadece gerekçesi tam değildir. C seçeneği daha kesin ve doğru bir gerekçe sunmaktadır.
Yukarıdaki değerlendirmelere göre, önermenin doğru olduğunu ve bunun nedeninin kümedeki tüm elemanların 5'ten küçük olması olduğunu anlıyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
