Bir matematik yarışmasında yarışmacılara "A = {2, 4, 6, 8} kümesi için '∀x ∈ A, x çift sayıdır' önermesi doğru mudur?" sorusu soruluyor. Doğru cevap ve gerekçesi hangi seçenekte verilmiştir?
A) Doğrudur, çünkü kümedeki bazı elemanlar çift sayıdırBu soruda, mantık konusundaki temel bilgilerimizi kullanarak bir önermenin doğruluğunu inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:
Bize verilen önerme '$ \forall x \in A, x $ çift sayıdır'. Bu önermeyi doğru bir şekilde yorumlamak çok önemlidir.
'$ \forall $' sembolü "her" veya "tüm" anlamına gelen evrensel niceleyicidir. Yani, önerme $A$ kümesindeki her bir eleman için geçerli olmalıdır.
'$ x \in A $' ifadesi, $x$'in $A$ kümesinin bir elemanı olduğunu belirtir.
' $x$ çift sayıdır' ifadesi ise, $x$ elemanının 2'ye kalansız bölünebildiği anlamına gelir.
Özetle, önerme diyor ki: "$A$ kümesindeki tüm elemanlar çift sayıdır."
Verilen küme $A = \{2, 4, 6, 8\}$'dir. Bu kümenin elemanları 2, 4, 6 ve 8'dir.
Şimdi $A$ kümesindeki her bir elemanın çift sayı olup olmadığını kontrol edelim:
$2$: Çift sayıdır (çünkü 2, 2'ye kalansız bölünür).
$4$: Çift sayıdır (çünkü 4, 2'ye kalansız bölünür).
$6$: Çift sayıdır (çünkü 6, 2'ye kalansız bölünür).
$8$: Çift sayıdır (çünkü 8, 2'ye kalansız bölünür).
Gördüğümüz gibi, $A$ kümesindeki tüm elemanlar çift sayıdır.
Önerme, "$A$ kümesindeki tüm elemanlar çift sayıdır" diyordu. Biz de $A$ kümesindeki her elemanın gerçekten çift sayı olduğunu kontrol ettik. Bu durumda, önerme doğrudur.
Şimdi bulduğumuz bu sonuçla seçenekleri karşılaştıralım:
A) Doğrudur, çünkü kümedeki bazı elemanlar çift sayıdır. (Önerme doğru olsa da, '$\forall$' sembolünün anlamı "tüm" iken "bazı" ifadesi gerekçeyi eksik ve yanıltıcı kılar. Bir önermenin doğru olması için tüm elemanların koşulu sağlaması gerekir, sadece bazılarının değil.)
B) Doğrudur, çünkü kümedeki tüm elemanlar çift sayıdır. (Bu seçenek hem önermenin doğru olduğunu belirtiyor hem de doğru gerekçeyi, yani tüm elemanların çift sayı olmasını sunuyor. Bu, evrensel niceleyicinin tanımına tamamen uyar.)
C) Yanlıştır, çünkü kümedeki tüm elemanlar çift sayı değildir. (Önermenin yanlış olduğunu iddia ediyor, ki bu bizim bulduğumuz sonuçla çelişiyor.)
D) Yanlıştır, çünkü kümede tek sayı da vardır. (Önermenin yanlış olduğunu iddia ediyor ve $A$ kümesinde tek sayı olmadığını biliyoruz.)
En doğru ve eksiksiz açıklama B seçeneğinde verilmiştir.
Cevap B seçeneğidir.
