Sevgili öğrenciler, bu tür bir problemde, belirli bir çevreye sahip dikdörtgenler arasında alanı en büyük olanı bulmaya çalışıyoruz. Bu, genellikle bir optimizasyon problemidir ve matematiksel olarak çözümü oldukça zariftir. Hadi adım adım ilerleyelim:
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Bize bir dikdörtgenin çevresinin $30$ cm olduğu bilgisi verilmiş.
- Bir dikdörtgenin iki kenarı vardır: uzun kenar ($a$) ve kısa kenar ($b$).
- Çevre formülü: $Çevre = 2 \times (a + b)$.
- Alan formülü: $Alan = a \times b$.
- 2. Çevre Bilgisini Kullanarak Kenarlar Arasındaki İlişkiyi Bulalım:
- $2 \times (a + b) = 30$ cm.
- Her iki tarafı $2$'ye bölersek: $a + b = 15$ cm.
- Bu, dikdörtgenin uzun ve kısa kenarlarının toplamının $15$ cm olması gerektiği anlamına gelir.
- 3. Alan İfadesini Tek Değişken Cinsinden Yazalım:
- Amacımız alanı ($A = a \times b$) en büyük yapmaktır.
- $a + b = 15$ eşitliğinden, $b = 15 - a$ yazabiliriz.
- Şimdi bu $b$ değerini alan formülünde yerine koyalım: $A = a \times (15 - a)$.
- Bu ifadeyi düzenlersek: $A = 15a - a^2$.
- 4. Alanı En Büyük Yapan Kenar Uzunluklarını Bulalım:
- $A = -a^2 + 15a$ ifadesi, bir parabol denklemini temsil eder. Bu parabolün kolları aşağı doğru olduğu için (çünkü $a^2$'nin katsayısı negatiftir), bir tepe noktası ve dolayısıyla bir maksimum değeri vardır.
- Bir parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı (bizim durumumuzda $a$) $x = -B / (2A)$ formülüyle bulunur. Burada $A = -1$ ve $B = 15$.
- $a = -15 / (2 \times -1) = -15 / -2 = 7.5$ cm.
- Alternatif ve daha sezgisel bir yol: Sabit bir toplamı ($a+b=15$) olan iki sayının çarpımının ($a \times b$) en büyük olması için, bu sayıların birbirine en yakın olması gerekir. Hatta eşit olmaları durumunda çarpım maksimum olur.
- Yani, $a = b$ olmalıdır.
- Eğer $a = b$ ise ve $a + b = 15$ ise, o zaman $a + a = 15 \Rightarrow 2a = 15 \Rightarrow a = 7.5$ cm.
- Bu durumda $b$ de $15 - 7.5 = 7.5$ cm olur.
- Bu da demek oluyor ki, çevresi sabit olan dikdörtgenler arasında alanı en büyük olanı bir karedir!
- 5. Maksimum Alanı Hesaplayalım:
- Kenar uzunlukları $a = 7.5$ cm ve $b = 7.5$ cm olduğuna göre, alanı hesaplayabiliriz.
- $Alan = a \times b = 7.5 \times 7.5$.
- $7.5 \times 7.5 = 56.25$ cm².
Bu durumda, çevresi $30$ cm olan bir dikdörtgenin alanı en fazla $56.25$ cm² olabilir.
Cevap A seçeneğidir.
