Teğetin eğimi ve türev ilişkisi Test 1

Bir hareketlinin yol-zaman fonksiyonu s(t) = t³ - 6t² + 9t + 2 şeklinde veriliyor. Bu hareketlinin t = 2 anındaki anlık hızı kaçtır?

A) -3
B) 0
C) 3
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir hareketlinin konum fonksiyonu verilmiş ve belirli bir andaki anlık hızı istenmektedir. Anlık hız, konum fonksiyonunun zamana göre türevi alınarak bulunur. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Anlık Hızın Tanımı:

  Bir hareketlinin anlık hızı, o hareketlinin konum (yol) fonksiyonunun zamana göre birinci türevi alınarak bulunur. Yani, eğer konum fonksiyonu $s(t)$ ise, hız fonksiyonu $v(t)$ bu fonksiyonun türevi olacaktır: $v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$.

• 2. Konum Fonksiyonunun Türevini Alma (Hız Fonksiyonunu Bulma):

  Verilen konum fonksiyonu $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$ şeklindedir. Şimdi bu fonksiyonun zamana göre türevini alarak hız fonksiyonu $v(t)$'yi bulalım:

  • $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$
  • Her bir terimin türevini ayrı ayrı alalım (türev kurallarını hatırlayalım: $(t^n)' = nt^{n-1}$ ve sabit sayının türevi $0$'dır):
  • $t^3$ teriminin türevi: $3t^{3-1} = 3t^2$
  • $-6t^2$ teriminin türevi: $-6 \cdot (2t^{2-1}) = -12t$
  • $9t$ teriminin türevi: $9 \cdot (1t^{1-1}) = 9 \cdot t^0 = 9 \cdot 1 = 9$
  • $2$ (sabit sayı) teriminin türevi: $0$
  • Bu türevleri birleştirerek hız fonksiyonunu elde ederiz: $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$
• 3. Belirtilen Zamandaki Hızı Hesaplama:

  Bize $t = 2$ anındaki anlık hız sorulduğu için, bulduğumuz hız fonksiyonu $v(t)$'de $t$ yerine $2$ yazmalıyız.

  • $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$
  • $t = 2$ için: $v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9$
• 4. İşlemleri Yapma:

  Şimdi $v(2)$ ifadesinin değerini hesaplayalım:

  • $v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9$
  • Önce üslü ifadeyi hesaplayalım: $2^2 = 4$
  • $v(2) = 3(4) - 12(2) + 9$
  • Çarpma işlemlerini yapalım: $3 \cdot 4 = 12$ ve $12 \cdot 2 = 24$
  • $v(2) = 12 - 24 + 9$
  • Toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım: $12 - 24 = -12$
  • $v(2) = -12 + 9$
  • $v(2) = -3$

Buna göre, hareketlinin $t = 2$ anındaki anlık hızı $-3$ birim/zaman birimidir.

Bu sonuç seçeneklerdeki A) -3 ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.