Bir eğriye teğet olan doğrunun denklemini bulmak için iki temel bilgiye ihtiyacımız vardır:
- Teğet noktasının koordinatları $(x_1, y_1)$
- Teğet doğrusunun eğimi $m$
Bu bilgileri adım adım bulalım:
- 1. Teğet noktasının y-koordinatını bulalım ($y_1$):
- Soruda verilen $x$-koordinatı $x_1 = 1$'dir. Bu noktayı $f(x)$ fonksiyonunda yerine koyarak $y_1$ değerini buluruz.
- $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$
- $y_1 = f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1$
- $y_1 = 3(1) - 2 + 1$
- $y_1 = 3 - 2 + 1$
- $y_1 = 3$
- O zaman teğet noktası $(x_1, y_1) = (1, 3)$'tür.
- 2. Teğet doğrusunun eğimini ($m$) bulalım:
- Bir noktadaki teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevinin değerine eşittir. Önce $f(x)$'in türevini alalım.
- $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$
- Türev kurallarını kullanarak:
- $f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1)$
- $f'(x) = 3 \cdot (2x^{2-1}) - 2 \cdot (1x^{1-1}) + 0$
- $f'(x) = 6x - 2$
- Şimdi $x = 1$ noktasındaki eğimi bulmak için $f'(x)$'te $x = 1$ yazalım:
- $m = f'(1) = 6(1) - 2$
- $m = 6 - 2$
- $m = 4$
- Teğet doğrusunun eğimi $m = 4$'tür.
- 3. Teğet doğrusunun denklemini yazalım:
- Nokta $(x_1, y_1) = (1, 3)$ ve eğim $m = 4$ olduğuna göre, doğru denkleminin nokta-eğim formülünü ($y - y_1 = m(x - x_1)$) kullanalım.
- $y - 3 = 4(x - 1)$
- Denklemi düzenleyerek $y = mx + b$ formuna getirelim:
- $y - 3 = 4x - 4$
- $y = 4x - 4 + 3$
- $y = 4x - 1$
Bu denklem seçeneklerdeki A şıkkına uymaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
