Bu problemde, bir dairenin yarıçapının zamanla nasıl değiştiğini ve belirli bir anda dairenin alanının değişim hızını bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, türev kavramını ve zincir kuralını kullanarak çözülür.
- Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Gerekli Formülleri Hatırlayalım
- Dairenin yarıçapı zamanla $r(t) = 2t + 1$ şeklinde değişmektedir.
- Dairenin alan formülü $A = \pi r^2$'dir.
- Bizden istenen, $t = 2$ anında dairenin alanındaki değişim hızıdır. Değişim hızı demek, zamanla türevini almak demektir. Yani $\frac{dA}{dt}$'yi bulmalıyız.
- Adım 2: Dairenin Alanını Zamanın Bir Fonksiyonu Olarak Yazalım
- Dairenin alan formülü $A = \pi r^2$ idi. Yarıçap $r(t) = 2t + 1$ olduğuna göre, $r$ yerine $2t + 1$ yazarak alanı zamanın bir fonksiyonu olarak ifade edebiliriz:
- $A(t) = \pi (r(t))^2$
- $A(t) = \pi (2t + 1)^2$
- Adım 3: Alanın Zamanla Değişim Hızını (Türevini) Bulalım
- Alanın değişim hızını bulmak için $A(t)$ fonksiyonunun $t$'ye göre türevini almalıyız, yani $\frac{dA}{dt}$'yi hesaplamalıyız. Bu işlemde zincir kuralını kullanacağız.
- $A(t) = \pi (2t + 1)^2$ ifadesinin türevini alırken, önce dıştaki kuvvet fonksiyonunun türevini alırız, sonra içteki fonksiyonun türevini çarparız.
- $\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} [\pi (2t + 1)^2]$
- Sabit $\pi$ dışarıda kalır. $(2t + 1)^2$ ifadesinin türevi için:
- Kuvveti öne indiririz: $2 \cdot (2t + 1)^{2-1} = 2(2t + 1)^1 = 2(2t + 1)$
- İçteki fonksiyonun ($2t + 1$) türevini alırız: $\frac{d}{dt}(2t + 1) = 2$
- Şimdi bunları çarparız:
- $\frac{dA}{dt} = \pi \cdot [2(2t + 1)] \cdot 2$
- $\frac{dA}{dt} = 4\pi (2t + 1)$
- Adım 4: Değişim Hızını Belirtilen Anda Hesaplayalım
- Bizden $t = 2$ anındaki değişim hızı isteniyor. Bulduğumuz $\frac{dA}{dt}$ ifadesinde $t$ yerine $2$ yazalım:
- $\frac{dA}{dt} \Big|_{t=2} = 4\pi (2(2) + 1)$
- $\frac{dA}{dt} \Big|_{t=2} = 4\pi (4 + 1)$
- $\frac{dA}{dt} \Big|_{t=2} = 4\pi (5)$
- $\frac{dA}{dt} \Big|_{t=2} = 20\pi$
Buna göre, $t = 2$ anında dairenin alanındaki değişim hızı $20\pi$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
