Köklü sayılarla toplama nedir? Test 2

\( \sqrt{75} + \sqrt{48} - \sqrt{108} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( 3\sqrt{3} \)
B) \( 4\sqrt{3} \)
C) \( 5\sqrt{3} \)
D) \( 6\sqrt{3} \)

Bu tür köklü ifadeleri toplama ve çıkarma işlemlerini yapabilmek için öncelikle her bir köklü sayıyı en sade haline getirmemiz gerekir. Yani, kök içindeki sayıları bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazmaya çalışacağız. Amacımız, tüm köklü ifadelerin kök içindeki kısımlarını aynı yapmak ve böylece katsayılarını toplayıp çıkarabilmektir.

• Adım 1: İlk Terimi Sadeleştirme ( $ \sqrt{75} $ )

  İlk terimimiz $ \sqrt{75} $. 75 sayısını bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazalım. 75 sayısının çarpanlarını düşündüğümüzde, en büyük tam kare çarpanının 25 olduğunu görürüz. Çünkü $ 25 \times 3 = 75 $.

  Bu durumda, $ \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} $ olarak yazabiliriz. Köklü sayılarda çarpma özelliğini kullanarak bunu $ \sqrt{25} \times \sqrt{3} $ şeklinde ayırabiliriz. $ \sqrt{25} $ ifadesinin değeri 5'tir. Dolayısıyla, $ \sqrt{75} = 5\sqrt{3} $ olur.

• Adım 2: İkinci Terimi Sadeleştirme ( $ \sqrt{48} $ )

  Sıradaki terimimiz $ \sqrt{48} $. 48 sayısını bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazalım. 48 sayısının çarpanlarını düşündüğümüzde, en büyük tam kare çarpanının 16 olduğunu görürüz. Çünkü $ 16 \times 3 = 48 $.

  Bu durumda, $ \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} $ olarak yazabiliriz. Bunu $ \sqrt{16} \times \sqrt{3} $ şeklinde ayırabiliriz. $ \sqrt{16} $ ifadesinin değeri 4'tür. Dolayısıyla, $ \sqrt{48} = 4\sqrt{3} $ olur.

• Adım 3: Üçüncü Terimi Sadeleştirme ( $ \sqrt{108} $ )

  Son terimimiz $ \sqrt{108} $. 108 sayısını bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazalım. 108 sayısının çarpanlarını düşündüğümüzde, en büyük tam kare çarpanının 36 olduğunu görürüz. Çünkü $ 36 \times 3 = 108 $.

  Bu durumda, $ \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} $ olarak yazabiliriz. Bunu $ \sqrt{36} \times \sqrt{3} $ şeklinde ayırabiliriz. $ \sqrt{36} $ ifadesinin değeri 6'dır. Dolayısıyla, $ \sqrt{108} = 6\sqrt{3} $ olur.

• Adım 4: Sadeleştirilmiş Terimleri Birleştirme ve İşlemi Tamamlama

  Şimdi tüm terimleri sadeleştirilmiş halleriyle orijinal işlemde yerine yazalım:

  Orijinal ifade: $ \sqrt{75} + \sqrt{48} - \sqrt{108} $

  Sadeleştirilmiş ifade: $ 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 6\sqrt{3} $

  Gördüğümüz gibi, tüm terimlerin kök içi kısmı $ \sqrt{3} $ oldu. Bu durumda, kök dışındaki katsayıları kendi aralarında toplayıp çıkarabiliriz:

  $ (5 + 4 - 6)\sqrt{3} $

  Önce toplama işlemini yapalım: $ 5 + 4 = 9 $

  Şimdi çıkarma işlemini yapalım: $ 9 - 6 = 3 $

  Sonuç olarak, işlemin sonucu $ 3\sqrt{3} $ olur.

Cevap A seçeneğidir.