Köklü sayılarla toplama nedir?

Question

Köklü sayılarla toplama yaparken sadece aynı köke sahip olan sayıları toplayabiliyoruz. Mesela 2√3 ile 5√3'ü topladığımızda 7√3 elde ederiz. Fakat √2 ile √3'ü toplayamayız çünkü kök içleri aynı değil.

Answer 1

Köklü Sayılarla Toplama İşlemi

Köklü sayılarla toplama işlemi yapabilmek için kökün derecesi ve kök içi aynı olan terimler olması gerekir. Bu tür terimlere "benzer terimler" denir.

Kural:

Katsayılar toplanır, ortak olan köklü ifade aynen yazılır.

Matematiksel olarak ifade edersek:

\( a\sqrt[n]{x} + b\sqrt[n]{x} = (a + b)\sqrt[n]{x} \)

Örnekler:

• \( 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3 + 2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \)
• \( 7\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} = (7 + 1)\sqrt[3]{2} = 8\sqrt[3]{2} \)
• \( 10\sqrt{7} - 4\sqrt{7} = (10 - 4)\sqrt{7} = 6\sqrt{7} \)

Dikkat Edilmesi Gerekenler:

• Kök dereceleri farklıysa toplama yapılamaz. \( \sqrt{2} + \sqrt[3]{2} \) işlemi yapılamaz.
• Kök içleri farklıysa toplama yapılamaz. \( \sqrt{3} + \sqrt{5} \) işlemi yapılamaz.
• Ancak, kök içleri aynı yapılabiliyorsa (sadeleştirilebiliyorsa) işlem yapılabilir. Örneğin: \( \sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)

Pratik Yöntem:

Toplama işlemine başlamadan önce, köklü ifadeleri en sade haline getirmek her zaman işlemi kolaylaştırır ve benzer terimleri görmemizi sağlar.

Answer 2

Köklü Sayılarla Toplama Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki işlemlerden hangisinin sonucu diğerlerinden farklıdır?
a) \( 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \)
b) \( \sqrt{45} + \sqrt{20} \)
c) \( \sqrt{80} + \sqrt{5} \)
d) \( 2\sqrt{20} + \sqrt{45} \)
e) \( 5\sqrt{5} \)
Cevap: c) \( \sqrt{80} + \sqrt{5} \)
Çözüm: Köklü sayılarla toplama yapabilmek için kök içleri aynı olmalıdır. a) seçeneği \( 5\sqrt{5} \), b) seçeneği \( 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \), d) seçeneği \( 4\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 7\sqrt{5} \) şeklinde sadeleştirilir. c) seçeneği ise \( 4\sqrt{5} + \sqrt{5} = 5\sqrt{5} \) değildir, çünkü \( \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \) ve \( \sqrt{5} \) ile toplanırsa \( 5\sqrt{5} \) olur. Ancak soruda diğerlerinden farklı olan sorulduğu için d) seçeneği \( 7\sqrt{5} \) olduğundan cevap c) değil, d) olmalıdır. Kontrol edelim: a) \( 5\sqrt{5} \), b) \( 5\sqrt{5} \), c) \( 4\sqrt{5} + \sqrt{5} = 5\sqrt{5} \), d) \( 4\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 7\sqrt{5} \), e) \( 5\sqrt{5} \). Görüldüğü gibi d) seçeneği farklıdır. Cevap d) olacak.

Soru 2: \( \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3} \) işleminin sonucu kaçtır?
a) \( 4\sqrt{3} \)
b) \( 5\sqrt{3} \)
c) \( 6\sqrt{3} \)
d) \( 7\sqrt{3} \)
e) \( 8\sqrt{3} \)
Cevap: a) \( 4\sqrt{3} \)
Çözüm: Önce köklü sayıları sadeleştirelim: \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \), \( \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \). Yerine yazarsak: \( 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = (2+3-1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \).

Soru 3: Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{50} \) cm olan karenin çevresinin uzunluğu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a) \( 10\sqrt{2} \) cm
b) \( 15\sqrt{2} \) cm
c) \( 20\sqrt{2} \) cm
d) \( 25\sqrt{2} \) cm
e) \( 30\sqrt{2} \) cm
Cevap: c) \( 20\sqrt{2} \) cm
Çözüm: Karenin çevresi = 4 × bir kenar = \( 4 \times \sqrt{50} \). \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \). O halde çevre = \( 4 \times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \) cm.