9. Sınıf g(x)=a.f(x±r)±k Şeklinde Tanımlı Doğrusal Fonksiyonlar Nedir?

Question

Fonksiyonun bu formülünü anlamakta zorlanıyorum. Özellikle f(x)'in içine bir sayı ekleyip çıkarmanın veya fonksiyonun tamamını bir sayıyla çarpıp toplamanın grafiği nasıl kaydırdığını ve değiştirdiğini tam olarak kavrayamadım. Bu dönüşümlerin sonucunda doğrunun eğiminin ve konumunun nasıl etkilendiğini öğrenmek istiyorum.

Answer 1

Fonksiyon Dönüşümlerine Giriş

g(x) = a·f(x ± r) ± k ifadesi, bildiğimiz bir f(x) doğrusal fonksiyonunu çeşitli şekillerde değiştirerek yeni bir g(x) fonksiyonu elde etmemizi sağlar. Bu işlemlere fonksiyon dönüşümleri denir.

Temel Bileşenler ve Anlamları

Bu genel formülü dört temparçaya ayırarak inceleyebiliriz:

• f(x): Başlangıç fonksiyonumuz (Örneğin, f(x) = 2x + 1).
• a: Fonksiyonu dikey olarak esnetme, sıkıştırma veya yansıtma katsayısı.
• (x ± r): Fonksiyonu yatay olarak öteleme (kaydırma) ifadesi.
• ± k: Fonksiyonu dikey olarak öteleme (kaydırma) ifadesi.

Dönüşüm Türleri ve Etkileri

1. Dikey Öteleme: ± k

Fonksiyonun grafiğini yukarı veya aşağı kaydırır.

• g(x) = f(x) + k → Grafik yukarı kayar.
• g(x) = f(x) - k → Grafik aşağı kayar.

Örnek: f(x) = 2x fonksiyonu için g(x) = 2x + 3 grafiği, f(x)'in grafiğinin 3 birim yukarı kaymış halidir.

2. Yatay Öteleme: f(x ± r)

Fonksiyonun grafiğini sağa veya sola kaydırır. Bu kısım biraz dikkat gerektirir!

• g(x) = f(x - r) → Grafik sağa kayar.
• g(x) = f(x + r) → Grafik sola kayar.

Örnek: f(x) = 2x fonksiyonu için g(x) = 2(x - 4) grafiği, f(x)'in grafiğinin 4 birim sağa kaymış halidir.

3. Dikey Esneme/Sıkıştırma ve Yansıma: a·f(x)

Fonksiyonun grafiğini dikey olarak uzatır, sıkıştırır veya yansıtır.

• |a| > 1 ise → Grafik dikey olarak uzar (esner).
• 0 < |a| < 1 ise → Grafik dikey olarak sıkışır.
• a negatif ise (a < 0) → Grafik x-eksenine göre yansıtılır (ters çevrilir).

Örnek: f(x) = x fonksiyonu için g(x) = 3x grafiği, f(x)'in dik olarak 3 kat uzamış halidir. h(x) = -2x grafiği ise hem 2 kat uzamış hem de x-eksenine göre ters dönmüştür.

Birleşik Örnek

f(x) = x fonksiyonunu ele alalım. g(x) = 2f(x - 1) + 3 fonksiyonunun nasıl bir dönüşüm geçirdiğini inceleyelim.

1. İçerideki (x - 1) ifadesi: Grafiği 1 birim sağa kaydırır. Yeni fonksiyonumuz artık f(x-1) = (x - 1) olur.
2. 2 ile çarpma: Grafiği