Doğal sayılar kümesi sıralı mıdır

Question

Doğal sayıların sıralı olup olmadığını tam olarak anlayamadım. Mesela 0'dan sonsuza kadar giderken her sayının bir öncekinden büyük olduğunu biliyorum ama bu matematiksel olarak "sıralı küme" anlamına geliyor mu emin olamadım. Bu konuyu basit bir şekilde açıklayabilecek var mı?

Answer 1

Doğal Sayılar Kümesi ve Sıralama

Doğal sayılar kümesi, genellikle \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \) şeklinde gösterilen sayıların oluşturduğu kümedir. Bu küme üzerinde sıralama ilişkisi tanımlanabilir.

Sıralı Küme Nedir?

Bir kümenin sıralı olması için, o kümenin elemanları arasında bir "≤" (küçük eşittir) ilişkisinin tanımlanmış olması ve bu ilişkinin aşağıdaki üç özelliği sağlaması gerekir:

• Yansıma Özelliği: Her \( a \in \mathbb{N} \) için \( a \leq a \) sağlanır.
• Antisimetri Özelliği: Her \( a, b \in \mathbb{N} \) için, eğer \( a \leq b \) ve \( b \leq a \) ise \( a = b \) olur.
• Geçişlilik Özelliği: Her \( a, b, c \in \mathbb{N} \) için, eğer \( a \leq b \) ve \( b \leq c \) ise \( a \leq c \) olur.

Doğal Sayılar Kümesi Sıralı mıdır?

Evet, doğal sayılar kümesi tam sıralı bir kümedir. Bunun nedeni, doğal sayılar arasında tanımlanan "<" (küçüktür) veya "≤" (küçük eşittir) ilişkisinin yukarıdaki tüm özellikleri sağlamasıdır.

Örneğin:

• \( 2 \leq 5 \) (2, 5'ten küçük veya eşit)
• \( 7 \leq 7 \) (Yansıma özelliği)
• Eğer \( 3 \leq 4 \) ve \( 4 \leq 6 \) ise \( 3 \leq 6 \) (Geçişlilik özelliği)

Ayrıca, doğal sayılar kümesi iyi sıralı bir kümedir. Bu, boş olmayan her alt kümesinin bir en küçük elemanı olduğu anlamına gelir. Örneğin, \( A = \{5, 8, 2\} \) alt kümesinin en küçük elemanı 2'dir.

Sonuç

Doğal sayılar kümesi, üzerinde tanımlanan doğal sıralama ilişkisi sayesinde hem tam sıralı hem de iyi sıralı bir küme oluşturur. Bu nedenle, "doğal sayılar kümesi sıralıdır" ifadesi doğrudur.