10. Sınıf Referans Fonksiyonlar ve Ters Fonksiyonları

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Özellikle bir fonksiyonun tersini alırken, adımları karıştırıyorum ve işlem sırasında hata yapıyorum. Grafik üzerinde nasıl gösterildiğini de tam olarak kavrayamadım.

Answer 1

Referans (Doğrusal) Fonksiyonlar

Referans fonksiyonlar, en basit ve temel fonksiyon türleridir. Bunlar, diğer daha karmaşık fonksiyonların grafiklerini çizerken bize referans (kılavuz) olurlar. En önemli referans fonksiyonlar doğrusal fonksiyonlardır.

Doğrusal Fonksiyon Nedir?

Genel denklemi \( f(x) = ax + b \) şeklinde olan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. Burada \( a \) ve \( b \) gerçek sayılardır ve \( a \) sayısına eğim denir.

Doğrusal Fonksiyon Grafiği

\( f(x) = ax + b \) fonksiyonunun grafiği bir doğrudur.

• Grafik, y eksenini \( (0, b) \) noktasında keser.
• Eğim \( (a) \), doğrunun x ekseni ile yaptığı açının tanjant değeridir. Doğrunun ne kadar dik olduğunu gösterir.
• \( f(x) = x \) fonksiyonuna "birim fonksiyon" denir ve grafiği orijinden geçen ve açıortay olan bir doğrudur.

Ters Fonksiyon

Bir fonksiyonun tersi, adımları tersine çeviren bir işlemdir. Eğer \( f \) fonksiyonu \( x \)'i \( y \)'ye götürüyorsa, ters fonksiyon \( y \)'yi tekrar \( x \)'e götürür.

Ters Fonksiyonun Tanımı

\( f: A \to B \) birebir ve örten bir fonksiyon olsun. \( f \) fonksiyonunun tersi \( f^{-1} \) ile gösterilir ve \( f^{-1}: B \to A \) şeklindedir.

Bir \( y = f(x) \) fonksiyonunun tersini bulmak için:

1. \( x \) ve \( y \) yer değiştirilir. Denklem \( x = f(y) \) haline getirilir.
2. Bu yeni denklem, \( y \) yalnız bırakılacak şekilde düzenlenir. Elde edilen ifade \( f^{-1}(x) \) olur.

Doğrusal Fonksiyonun Tersi

Doğrusal bir fonksiyonun tersini bulmak oldukça kolaydır.

Örnek: \( f(x) = 4x - 12 \) fonksiyonunun tersini bulalım.

1. \( f(x) \) yerine \( y \) yazalım: \( y = 4x - 12 \)
2. \( x \) ve \( y \) yer değiştirir: \( x = 4y - 12 \)
3. Yeni denklemi \( y \)'ye göre çözelim:

   \( x + 12 = 4y \)

   \( y = \frac{x + 12}{4} \)

   \( y = \frac{x}{4} + 3 \)

4. Sonuç: \( f^{-1}(x) = \frac{x}{4} + 3 \)

Ters Fonksiyon Grafiği

Bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği, \( y = x \) doğrusuna (birim fonksiyon) göre simetriktir.