Bu soruyu çözmek için, öncelikle köklü ifadeleri en sade hallerine getirmemiz gerekiyor. Kök içindeki sayıları, bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazarak kök dışına çıkarabiliriz. Amacımız, tüm köklü ifadeleri aynı kök içine sahip olacak şekilde düzenlemektir.
- İlk terimi sadeleştirelim: $4\sqrt{12}$
- $12$ sayısını tam kare çarpanlarına ayıralım: $12 = 4 \times 3$. Burada $4$ bir tam karedir ($2^2$).
- Bu durumda, $\sqrt{12}$ ifadesini $\sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ olarak yazabiliriz.
- Şimdi bu ifadeyi baştaki katsayı ile çarpalım: $4 \times (2\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$.
- İkinci terimi sadeleştirelim: $3\sqrt{27}$
- $27$ sayısını tam kare çarpanlarına ayıralım: $27 = 9 \times 3$. Burada $9$ bir tam karedir ($3^2$).
- Bu durumda, $\sqrt{27}$ ifadesini $\sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ olarak yazabiliriz.
- Şimdi bu ifadeyi baştaki katsayı ile çarpalım: $3 \times (3\sqrt{3}) = 9\sqrt{3}$.
- Üçüncü terimi sadeleştirelim: $2\sqrt{75}$
- $75$ sayısını tam kare çarpanlarına ayıralım: $75 = 25 \times 3$. Burada $25$ bir tam karedir ($5^2$).
- Bu durumda, $\sqrt{75}$ ifadesini $\sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ olarak yazabiliriz.
- Şimdi bu ifadeyi baştaki katsayı ile çarpalım: $2 \times (5\sqrt{3}) = 10\sqrt{3}$.
- Sadeleştirilmiş terimleri birleştirelim:
- Şimdi tüm sadeleştirilmiş terimleri orijinal işlemdeki yerlerine yazalım:
- $8\sqrt{3} + 9\sqrt{3} - 10\sqrt{3}$
- Gördüğümüz gibi, tüm terimlerin kök içi aynıdır ($\sqrt{3}$). Bu durumda, katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
- $(8 + 9 - 10)\sqrt{3}$
- Önce toplama işlemini yapalım: $8 + 9 = 17$.
- Şimdi çıkarma işlemini yapalım: $17 - 10 = 7$.
- Sonuç olarak, işlemin sonucu $7\sqrt{3}$ olur.
Cevap B seçeneğidir.
