Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir dairede verilen yay uzunluğu ve merkez açı bilgileriyle dairenin çapını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi kolayca çözelim.
- 1. Problemi Anlayalım ve Verilenleri Belirleyelim:
- Bize verilenler:
- Yay uzunluğu ($L$) = $18$ cm
- Merkez açının ölçüsü ($\theta$) = $120^\circ$
- Bizden istenen:
- 2. Gerekli Formülleri Hatırlayalım:
- Bir dairede yay uzunluğu ($L$), yarıçap ($r$) ve merkez açı ($\theta$) arasındaki ilişkiyi veren formül şöyledir:
$L = 2 \pi r \frac{\theta}{360^\circ}$
- Dairenin çapı ($D$) ile yarıçapı ($r$) arasındaki ilişki ise şöyledir:
$D = 2r$
- 3. Yay Uzunluğu Formülünde Verilenleri Yerine Koyalım:
- $L = 18$ cm ve $\theta = 120^\circ$ değerlerini yay uzunluğu formülünde yerine yazalım:
$18 = 2 \pi r \frac{120^\circ}{360^\circ}$
- 4. Denklemi Sadeleştirelim:
- Açı oranını sadeleştirelim: $\frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}$.
- Şimdi denklemimiz şu hale gelir:
$18 = 2 \pi r \frac{1}{3}$
- Bu ifadeyi daha düzenli yazarsak:
$18 = \frac{2 \pi r}{3}$
- 5. Yarıçapı ($r$) Bulalım:
- Denklemin her iki tarafını $3$ ile çarpalım:
$18 \times 3 = 2 \pi r$
$54 = 2 \pi r$
- Bu tür sorularda, eğer $\pi$ için özel bir değer verilmemişse ve seçenekler tam sayı ise, genellikle $\pi$ sayısını $3$ olarak kabul etmek veya sadeleşeceğini düşünmek yaygın bir yaklaşımdır. Seçenekler tam sayı olduğu için $\pi = 3$ kabul edelim.
- $\pi = 3$ kabul edersek:
$54 = 2 \times 3 \times r$
$54 = 6r$
- Şimdi her iki tarafı $6$'ya bölerek yarıçapı ($r$) bulalım:
$r = \frac{54}{6}$
$r = 9$ cm
- 6. Çapı ($D$) Bulalım:
- Dairenin çapı, yarıçapının iki katıdır ($D = 2r$). Bulduğumuz yarıçap değerini yerine koyalım:
$D = 2 \times 9$
$D = 18$ cm
Böylece dairenin çapını $18$ cm olarak bulmuş olduk.
Cevap D seçeneğidir.
