Özkütlesi 2 g/cm³ olan bir cisim, özkütlesi 1,2 g/cm³ olan sıvı içerisinde serbest bırakılıyor. Cismin ivmesi kaç m/s²'dir? (g = 10 m/s²)
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir cismin sıvı içindeki hareketini ve ivmesini bulacağız. Bu tür soruları çözerken, cisme etki eden kuvvetleri doğru bir şekilde belirlemek ve Newton'ın İkinci Yasası'nı uygulamak çok önemlidir. Haydi adım adım ilerleyelim!
-
1. Verilenleri Belirleyelim ve Birimleri Dönüştürelim:
Soruda bize cismin özkütlesi, sıvının özkütlesi ve yerçekimi ivmesi verilmiş. Öncelikle birimlerin tutarlı olduğundan emin olalım. Genellikle fizik problemlerinde SI birim sistemini (metre, kilogram, saniye) kullanırız.
- Cismin özkütlesi: $\rho_{cisim} = 2 \text{ g/cm}^3$
- Sıvının özkütlesi: $\rho_{sıvı} = 1.2 \text{ g/cm}^3$
- Yerçekimi ivmesi: $g = 10 \text{ m/s}^2$
Özkütle birimlerini $\text{kg/m}^3$'e çevirelim. $1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3$ olduğunu biliyoruz.
- $\rho_{cisim} = 2 \times 1000 = 2000 \text{ kg/m}^3$
- $\rho_{sıvı} = 1.2 \times 1000 = 1200 \text{ kg/m}^3$
-
2. Cisme Etki Eden Kuvvetleri Belirleyelim:
Sıvı içinde serbest bırakılan bir cisme iki temel kuvvet etki eder:
- Yerçekimi Kuvveti (Ağırlık - $G$): Cismi aşağı doğru çeken kuvvettir. Formülü $G = m_{cisim} \cdot g$'dir. Cismin kütlesini özkütle ve hacim cinsinden yazarsak $m_{cisim} = \rho_{cisim} \cdot V_{cisim}$ olur. Dolayısıyla $G = \rho_{cisim} \cdot V_{cisim} \cdot g$.
- Kaldırma Kuvveti ($F_K$): Sıvının cisme yukarı doğru uyguladığı kuvvettir. Arşimet Prensibi'ne göre, kaldırma kuvveti cismin batan kısmının hacmi kadar yer değiştiren sıvının ağırlığına eşittir. Formülü $F_K = m_{sıvı} \cdot g = \rho_{sıvı} \cdot V_{batan} \cdot g$'dir. Cisim sıvı içinde serbest bırakıldığı için başlangıçta tamamen battığını varsayarız, yani $V_{batan} = V_{cisim}$. Dolayısıyla $F_K = \rho_{sıvı} \cdot V_{cisim} \cdot g$.
-
3. Net Kuvveti ve Hareket Yönünü Belirleyelim:
Cismin özkütlesi ($2000 \text{ kg/m}^3$) sıvının özkütlesinden ($1200 \text{ kg/m}^3$) daha büyük olduğu için cisim batacaktır. Bu durumda yerçekimi kuvveti kaldırma kuvvetinden daha büyüktür ve net kuvvet aşağı yönlüdür.
- Net kuvvet: $F_{net} = G - F_K$ (aşağı yönlü)
-
4. Newton'ın İkinci Yasası'nı Uygulayalım:
Newton'ın İkinci Yasası'na göre $F_{net} = m_{cisim} \cdot a$'dır. Burada $a$ cismin ivmesidir.
- $m_{cisim} \cdot a = G - F_K$
- $\rho_{cisim} \cdot V_{cisim} \cdot a = (\rho_{cisim} \cdot V_{cisim} \cdot g) - (\rho_{sıvı} \cdot V_{cisim} \cdot g)$
Denklemin her iki tarafında da $V_{cisim}$ terimi olduğu için bu terimi sadeleştirebiliriz (çünkü cismin hacmi sıfır değildir):
- $\rho_{cisim} \cdot a = \rho_{cisim} \cdot g - \rho_{sıvı} \cdot g$
- $\rho_{cisim} \cdot a = (\rho_{cisim} - \rho_{sıvı}) \cdot g$
-
5. İvmeyi Hesaplayalım:
Şimdi ivme $a$'yı yalnız bırakalım ve değerleri yerine koyalım:
- $a = \frac{(\rho_{cisim} - \rho_{sıvı}) \cdot g}{\rho_{cisim}}$
- $a = \frac{(2000 \text{ kg/m}^3 - 1200 \text{ kg/m}^3) \cdot 10 \text{ m/s}^2}{2000 \text{ kg/m}^3}$
- $a = \frac{(800 \text{ kg/m}^3) \cdot 10 \text{ m/s}^2}{2000 \text{ kg/m}^3}$
- $a = \frac{8000}{2000} \text{ m/s}^2$
- $a = 4 \text{ m/s}^2$
Gördüğünüz gibi, cismin ivmesi $4 \text{ m/s}^2$ olarak bulunur. Bu, cismin her saniye hızının $4 \text{ m/s}$ arttığı anlamına gelir.
Cevap B seçeneğidir.
