ABC geniş açılı üçgeninde m(∠A) = 100° dir. Bu üçgenin [BC] kenarına ait yükseklik, [AC] kenarına ait yükseklik ve [AB] kenarına ait yüksekliklerin kesişim noktası için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) A köşesine ait kenarların dış bölgesindedirBu soruda, geniş açılı bir üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasının (ortosantrının) nerede bulunduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Soruda verilen bilgiye göre, ABC üçgeninde $m(\angle A) = 100^\circ$ dir. Bir üçgende bir açının ölçüsü $90^\circ$'den büyükse, o üçgen geniş açılı bir üçgendir. Dolayısıyla, ABC üçgeni geniş açılı bir üçgendir.
Bir üçgenin üç yüksekliğinin kesişim noktasına ortosantr denir. Ortosantrın konumu, üçgenin türüne göre değişir:
Dar Açılı Üçgenlerde: Ortosantr üçgenin iç bölgesindedir.
Dik Açılı Üçgenlerde: Ortosantr, dik açının bulunduğu köşededir.
Geniş Açılı Üçgenlerde: Ortosantr üçgenin dış bölgesindedir.
Ancak, soruda sadece "dış bölgededir" demek yeterli değil, hangi dış bölgede olduğunu da belirlememiz gerekiyor.
ABC üçgeninde $m(\angle A) = 100^\circ$ olduğu için, A köşesi geniş açıdır. Geniş açılı bir üçgende ortosantr, geniş açının bulunduğu köşenin "arkasında" kalan dış bölgede yer alır. Bu durumu daha iyi anlamak için yüksekliklerin nasıl davrandığına bakalım:
[BC] kenarına ait yükseklik: A köşesinden [BC] kenarına indirilen yükseklik, üçgenin iç bölgesinde yer alır.
[AC] kenarına ait yükseklik: B köşesinden [AC] kenarına indirilen yükseklik, [AC] kenarının uzantısına düşer ve üçgenin dış bölgesindedir. Çünkü $\angle A$ geniş açı olduğu için, B'den AC'ye dikme indirmek için AC'yi A yönünde uzatmamız gerekir.
[AB] kenarına ait yükseklik: C köşesinden [AB] kenarına indirilen yükseklik de [AB] kenarının uzantısına düşer ve üçgenin dış bölgesindedir. Benzer şekilde, C'den AB'ye dikme indirmek için AB'yi A yönünde uzatmamız gerekir.
Bu üç yüksekliğin (veya uzantılarının) kesişim noktası olan ortosantr, geniş açının (A açısının) bulunduğu köşenin "arkasında", yani A köşesine ait kenarların (AB ve AC) uzantılarının oluşturduğu dış bölgede yer alır.
A) A köşesine ait kenarların dış bölgesindedir: Bu ifade, geniş açının bulunduğu köşenin "arkasında" kalan dış bölgeyi doğru bir şekilde tanımlamaktadır. Geniş açılı üçgenlerde ortosantrın konumu budur.
B) BC kenarının üzerindedir: Bu durum, A köşesinin $90^\circ$ olduğu dik açılı üçgenler için geçerlidir ve ortosantr A köşesi olurdu. Bizim üçgenimiz geniş açılıdır.
C) Üçgenin iç bölgesindedir: Bu durum dar açılı üçgenler için geçerlidir. Bizim üçgenimiz geniş açılıdır.
D) C köşesine komşu dış bölgededir: Bu durum, C köşesinin geniş açı olması halinde geçerli olabilirdi. Ancak soruda geniş açının A köşesi olduğu belirtilmiştir.
Bu analizlere göre, geniş açılı ABC üçgeninde yüksekliklerin kesişim noktası, geniş açının bulunduğu A köşesinin "arkasında" kalan dış bölgede, yani A köşesine ait kenarların dış bölgesinde yer alır.
Cevap A seçeneğidir.
