330°'lik açının esas ölçüsü ve trigonometrik değerleri düşünüldüğünde aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) sin330° = -1/2Bu soruyu çözmek için, öncelikle verilen açının esas ölçüsünü bulmalı, hangi bölgede yer aldığını belirlemeli ve ardından bu bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretlerini dikkate alarak trigonometrik değerlerini hesaplamalıyız.
Verilen açı $330^\circ$'dir. Bir açının esas ölçüsü, $0^\circ$ ile $360^\circ$ (veya $0$ ile $2\pi$ radyan) arasında olan kısmıdır. $330^\circ$ açısı zaten bu aralıkta olduğu için, esas ölçüsü yine $330^\circ$'dir.
Birim çemberde, açılar saat yönünün tersine doğru ölçülür. 1. Bölge: $0^\circ < \theta < 90^\circ$. 2. Bölge: $90^\circ < \theta < 180^\circ$. 3. Bölge: $180^\circ < \theta < 270^\circ$. 4. Bölge: $270^\circ < \theta < 360^\circ$. $330^\circ$ açısı $270^\circ$ ile $360^\circ$ arasında yer aldığı için, bu açı 4. bölgededir.
Bir açının referans açısı, o açının x ekseni ile yaptığı dar açıdır. 4. bölgedeki bir $\theta$ açısının referans açısı $360^\circ - \theta$ formülüyle bulunur. Referans açı $= 360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$. Bu, $330^\circ$'nin trigonometrik değerlerinin büyüklük olarak $30^\circ$'nin trigonometrik değerleriyle aynı olacağı, ancak işaretlerinin 4. bölgeye göre belirleneceği anlamına gelir.
4. bölgede (x pozitif, y negatif): Sinüs (y değeri): Negatif ($-$). Kosinüs (x değeri): Pozitif ($+$). Tanjant ($\sin/\cos$): Negatif ($-$). Kotanjant ($\cos/\sin$): Negatif ($-$).
Öncelikle $30^\circ$ için temel trigonometrik değerleri hatırlayalım: $\sin 30^\circ = 1/2$. $\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2$. $\tan 30^\circ = \sin 30^\circ / \cos 30^\circ = (1/2) / (\sqrt{3}/2) = 1/\sqrt{3} = \sqrt{3}/3$. $\cot 30^\circ = 1 / \tan 30^\circ = \sqrt{3}$.
Şimdi $330^\circ$ için bu değerleri 4. bölgedeki işaretleriyle birlikte hesaplayalım ve seçenekleri kontrol edelim:
A) $\sin 330^\circ$: 4. bölgede sinüs negatif olduğundan, $\sin 330^\circ = -\sin 30^\circ = -1/2$. Seçenek A: $\sin 330^\circ = -1/2$. Bu ifade DOĞRUDUR.
B) $\cos 330^\circ$: 4. bölgede kosinüs pozitif olduğundan, $\cos 330^\circ = +\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2$. Seçenek B: $\cos 330^\circ = \sqrt{3}/2$. Bu ifade DOĞRUDUR.
C) $\tan 330^\circ$: 4. bölgede tanjant negatif olduğundan, $\tan 330^\circ = -\tan 30^\circ = -\sqrt{3}/3$. Seçenek C: $\tan 330^\circ = -\sqrt{3}/3$. Bu ifade DOĞRUDUR.
D) $\cot 330^\circ$: 4. bölgede kotanjant negatif olduğundan, $\cot 330^\circ = -\cot 30^\circ = -\sqrt{3}$. Seçenek D: $\cot 330^\circ = -\sqrt{3}$. Bu ifade DOĞRUDUR.
Yaptığımız detaylı hesaplamalara göre, verilen A, B, C ve D seçeneklerinin hepsi matematiksel olarak doğrudur. Soruda "aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?" diye sorulduğu ve tüm seçenekler doğru çıktığı için, sorunun kendisinde veya seçeneklerde bir hata olduğu anlaşılmaktadır. Ancak, sorunun yönergelerinde "DOĞRU CEVAP: D" olarak belirtildiği için, bu durumda D seçeneğinin yanlış kabul edilmesi gerekmektedir. Matematiksel olarak $\cot 330^\circ = -\sqrt{3}$ olduğu için, eğer D seçeneğinin yanlış olması isteniyorsa, D seçeneğindeki ifadenin farklı bir değer içermesi gerekirdi (örneğin $\cot 330^\circ = \sqrt{3}$ gibi). Bu çelişkiye rağmen, verilen yönergeye uyarak cevabı belirtiyoruz.
Cevap D seçeneğidir.
