10. Sınıf Geniş Açıların Trigonometrik Oranları Nasıl Hesaplanır?

Question

Trigonometride açılar 90 dereceden büyüdüğünde hangi değerleri alacağımı karıştırıyorum. 180 ve 360 derece gibi açıların sinüs, kosinüs değerlerini bulmakta zorlanıyorum. Birim çember üzerinde hangi bölgede hangi işaretin (+/-) kullanılacağını anlamak istiyorum.

Answer 1

Geniş Açıların Trigonometrik Oranları

Trigonometride, 90°'den büyük (geniş açı) açıların trigonometrik oranlarını (sinüs, kosinüs, tanjant) hesaplamak için bu açıları dar açı cinsinden ifade ederiz. Bunun için indirgeme formüllerini veya birim çemberi kullanırız.

İndirgeme Formülleri (90° - 180° Arası)

Bir geniş açıyı, 180°'den çıkararak onun tümleyen açısını buluruz. Bu dar açının trigonometrik oranı, orijinal geniş açının oranıyla aynıdır, sadece işareti değişebilir.

• Sinüs için: \( \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha \)
• Kosinüs için: \( \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha \)
• Tanjant için: \( \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha \)

Burada \( \alpha \) bir dar açıdır. Yani, 180°'den çıkardığımızda geniş açıyı (\( \theta \)) verir: \( \theta = 180^\circ - \alpha \)

Birim Çember ve Bölgelere Göre İşaretler

Birim çember, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Açıların trigonometrik oranlarının işareti, içinde bulundukları bölgeye göre belirlenir.

• II. Bölge (90° - 180°):
  • Sinüs pozitif (+)
  • Kosinüs negatif (-)
  • Tanjant negatif (-)

Örnek Hesaplamalar

Örnek 1: \( \sin120^\circ \) değerini bulalım.

• 120° geniş açısı, II. Bölge'dedir.
• İndirgeme formülünü uygulayalım: \( 120^\circ = 180^\circ - 60^\circ \)
• \( \sin120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin60^\circ \)
• \( \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• II. Bölge'de sinüs pozitif olduğu için cevap: \( \sin120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Örnek 2: \( \cos150^\circ \) değerini bulalım.

• 150° geniş açısı, II. Bölge'dedir.
• İndirgeme formülünü uygulayalım: \( 150^\circ = 180^\circ - 30^\circ \)
• \( \cos150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos30^\circ \)
• \( \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• II. Bölge'de kosinüs negatif olduğu için bu sonuç doğrudur: \( \cos150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Örnek 3: \( \tan135^\circ \) değerini bulalım.

• 135° geniş açısı, II. Bölge'dedir.
• İndirgeme formülünü uygulayalım: \( 135^\circ = 180^\circ - 45^\circ \)
• \( \tan135^\circ = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan45^\circ \)
• \( \tan45^\circ = 1 \)
• II. Bölge'de tanjant negatif olduğu için cevap: \( \tan135^\circ = -1 \)

Özet

• Geniş bir açının trig

Answer 2

10. Sınıf Geniş Açıların Trigonometrik Oranları Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Birim çember üzerinde \( \theta = 150^\circ \) açısının bitim noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right) \)
b) \( \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right) \)
c) \( \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
d) \( \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)
e) \( \left( -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
Cevap: b) \( \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right) \) Çözüm: \( 150^\circ \) açısı II. bölgededir ve esas ölçüsü \( 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \)'dir. II. bölgede kosinüs negatif, sinüs pozitiftir. \( \cos150^\circ = -\cos30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin150^\circ = \sin30^\circ = \frac{1}{2} \) olur.

Soru 2: \( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, \( \sin(180^\circ - \alpha) \) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( -\sin\alpha \)
b) \( -\cos\alpha \)
c) \( \cos\alpha \)
d) \( \sin\alpha \)
e) \( \tan\alpha \)
Cevap: d) \( \sin\alpha \) Çözüm: İndirgeme formüllerine göre, \( 180^\circ - \alpha \) açısı II. bölgede olduğu için sinüs değeri pozitiftir ve \( \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha \) şeklinde hesaplanır.

Soru 3: \( \cot 240^\circ \) değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a) \( \sqrt{3} \)
b) \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
c) \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \)
d) \( -\sqrt{3} \)
e) \( -\frac{1}{2} \)
Cevap: b) \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) Çözüm: \( 240^\circ \) açısı III. bölgededir. Esas ölçüsü \( 240^\circ - 180^\circ = 60^\circ \)'dir. III. bölgede kotanjant pozitiftir. \( \cot 240^\circ = \cot 60^\circ = \frac{\cos60^\circ}{\sin60^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \) olur.

Soru 4: \( \cos 315^\circ + \sin 135^\circ \) işleminin sonucu kaçtır?
a) \( \sqrt{2} \)
b) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
c) \( 0 \)
d) \( -\sqrt{2} \)
e) \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
Cevap: a) \( \sqrt{2} \) Çözüm: \( 315^\circ \) IV. bölgede olup esas ölçüsü \( 360^\circ - 315^\circ = 45^\circ \)'dir. \( \cos315^\circ = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). \( 135^\circ \) II. bölgede olup esas ölçüsü \( 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \)'dir. \( \sin135^\circ = \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Toplam: \( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \).