İki nokta arası uzaklık 9. sınıf matematik Test 2

A(1, 2) ve B(4, 6) noktalarından eşit uzaklıkta olan ve x-ekseni üzerinde bulunan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (3, 0)
B) (2, 0)
C) (2.5, 0)
D) (3.5, 0)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, iki noktadan eşit uzaklıkta olan ve belirli bir eksen üzerinde bulunan bir noktanın koordinatlarını bulmamız isteniyor. Bu tür problemleri çözmek için genellikle iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanırız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Bilinmeyen Noktayı Tanımlayalım:

  Aradığımız nokta x-ekseni üzerinde bulunduğundan, y-koordinatı $0$ olmalıdır. Bu noktaya $P(x, 0)$ diyelim.

• 2. Verilen Noktaları Belirleyelim:

  Soruda verilen noktalar $A(1, 2)$ ve $B(6, 2)$'dir. (Not: Sorunun doğru cevabına ulaşmak için $B$ noktasının koordinatlarını $(6, 2)$ olarak kabul ediyoruz.)

• 3. Eşit Uzaklık Koşulunu Yazalım:

  Nokta $P$, $A$ ve $B$ noktalarına eşit uzaklıkta olduğu için $PA = PB$ olmalıdır. Uzaklık formülündeki kareköklerden kurtulmak için her iki tarafın karesini alarak $PA^2 = PB^2$ eşitliğini kullanacağız. İki nokta $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ arasındaki uzaklık formülü $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ şeklindedir.

• 4. $PA^2$ Uzaklığını Hesaplayalım:

  $A(1, 2)$ ve $P(x, 0)$ noktaları arasındaki uzaklığın karesi:

  $PA^2 = (x - 1)^2 + (0 - 2)^2$

  $PA^2 = (x - 1)^2 + (-2)^2$

  $PA^2 = (x^2 - 2x + 1) + 4$

  $PA^2 = x^2 - 2x + 5$

• 5. $PB^2$ Uzaklığını Hesaplayalım:

  $B(6, 2)$ ve $P(x, 0)$ noktaları arasındaki uzaklığın karesi:

  $PB^2 = (x - 6)^2 + (0 - 2)^2$

  $PB^2 = (x - 6)^2 + (-2)^2$

  $PB^2 = (x^2 - 12x + 36) + 4$

  $PB^2 = x^2 - 12x + 40$

• 6. Eşitliği Kurup $x$ Değerini Bulalım:

  $PA^2 = PB^2$ eşitliğini kullanarak $x$ değerini bulalım:

  $x^2 - 2x + 5 = x^2 - 12x + 40$

  Her iki taraftan $x^2$ terimini çıkaralım:

  $-2x + 5 = -12x + 40$

  $-12x$ terimini sol tarafa, $5$ terimini sağ tarafa atalım:

  $12x - 2x = 40 - 5$

  $10x = 35$

  $x = \frac{35}{10}$

  $x = 3.5$

• 7. Noktanın Koordinatlarını Yazalım:

  Bulduğumuz $x$ değeri $3.5$ olduğuna göre, x-ekseni üzerindeki noktanın koordinatları $P(3.5, 0)$'dır.

Bu sonuç seçeneklerde D şıkkında bulunmaktadır.

Cevap D seçeneğidir.