Bir kenarı 10 cm olan karenin köşegen uzunluğu kaç cm'dir?
A) 10√2Harika bir geometri sorusu! Bir karenin köşegen uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremi'ni veya özel üçgen özelliklerini kullanabiliriz. Adım adım ilerleyelim:
Bir kare, dört kenarı birbirine eşit ve tüm iç açıları $90^\circ$ olan özel bir dörtgendir. Köşegen ise, karenin birbirine komşu olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasıdır. Bu köşegen, kareyi iki eş dik üçgene ayırır.
Karenin bir kenarı $10 \text{ cm}$ ise, bu köşegenin oluşturduğu dik üçgenin dik kenarları da $10 \text{ cm}$ olacaktır. Köşegen ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür.
Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler. Eğer dik kenarlar $a$ ve $b$, hipotenüs $c$ ise, formülümüz şöyledir: $a^2 + b^2 = c^2$.
Bizim durumumuzda, dik kenarlar $a = 10 \text{ cm}$ ve $b = 10 \text{ cm}$'dir. Köşegen uzunluğuna $k$ diyelim (hipotenüs).
Şimdi değerleri formüle yerleştirelim:
$10^2 + 10^2 = k^2$
$100 + 100 = k^2$
$200 = k^2$
Şimdi $k$'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
$k = \sqrt{200}$
$\sqrt{200}$ ifadesini sadeleştirelim. $200$, $100 \times 2$ olarak yazılabilir. $100$ bir tam kare sayıdır ($10^2$).
$k = \sqrt{100 \times 2}$
$k = \sqrt{100} \times \sqrt{2}$
$k = 10\sqrt{2}$
Yani, karenin köşegen uzunluğu $10\sqrt{2} \text{ cm}$'dir.
Bir karenin köşegeni, kareyi $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ özel dik üçgenlere ayırır. Bu tür üçgenlerde, dik kenarların uzunluğu $x$ ise, hipotenüsün uzunluğu $x\sqrt{2}$ olur. Bizim karemizin bir kenarı $10 \text{ cm}$ olduğu için ($x=10$), köşegen uzunluğu doğrudan $10\sqrt{2} \text{ cm}$ olarak bulunabilir. Bu yöntem, Pisagor Teoremi'ni uygulamadan daha hızlı bir çözüm sunar!
Gördüğün gibi, her iki yöntem de aynı sonuca ulaştı. Bu tür sorularda hem Pisagor Teoremi'ni hem de özel üçgen özelliklerini bilmek sana hız kazandırır.
Cevap A seçeneğidir.
