Sayı aralıklarında birleşim işlemi nedir (U) Test 2

1. A = {x | -3 ≤ x < 2, x ∈ R} ve B = {x | 0 ≤ x ≤ 5, x ∈ R} kümeleri veriliyor. A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {x | -3 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}
B) {x | 0 ≤ x < 2, x ∈ R}
C) {x | -3 ≤ x < 0, x ∈ R}
D) {x | 2 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}

Bu soruda, iki farklı kümenin birleşimini (union) bulmamız isteniyor. Kümelerimiz reel sayılar ($R$) üzerinde tanımlanmış aralıklar şeklinde verilmiş. Adım adım bu soruyu çözelim:

• 1. Kümeleri Anlayalım ve Aralık Notasyonuna Çevirelim:

  Öncelikle verilen kümeleri daha anlaşılır hale getirelim. Kümelerimiz, reel sayılar kümesinin alt kümeleri olan aralıklar şeklinde ifade edilmiştir.

  $A = \{x \mid -3 \le x < 2, x \in R\}$ kümesi, $-3$ dahil olmak üzere $2$'ye kadar (ama $2$ dahil değil) olan tüm reel sayıları içerir. Aralık notasyonunda bu, $A = [-3, 2)$ şeklinde yazılır.

  $B = \{x \mid 0 \le x \le 5, x \in R\}$ kümesi, $0$ dahil olmak üzere $5$ dahil olmak üzere tüm reel sayıları içerir. Aralık notasyonunda bu, $B = [0, 5]$ şeklinde yazılır.

• 2. Birleşim (Union) İşlemini Hatırlayalım:

  İki kümenin birleşimi ($A \cup B$), bu iki kümedeki tüm elemanları içeren kümedir. Yani, $A$'da olan veya $B$'de olan veya her ikisinde de olan tüm elemanları alırız. Bir sayı doğrusu üzerinde düşündüğümüzde, bu iki aralığın kapladığı toplam alanı bulmak gibidir.

• 3. Sayı Doğrusu Üzerinde Görselleştirelim:

  Şimdi bu aralıkları bir sayı doğrusu üzerinde hayal edelim:

  $A = [-3, 2)$ aralığı, $-3$'ten başlar ve $2$'ye kadar uzanır. ($-3$ kapalı, $2$ açık)

  $B = [0, 5]$ aralığı, $0$'dan başlar ve $5$'e kadar uzanır. ($0$ kapalı, $5$ kapalı)

  Bu iki aralığı birleştirdiğimizde, en soldaki noktadan en sağdaki noktaya kadar olan tüm bölgeyi kapsarız.

• 4. Birleşim Kümesinin Sınırlarını Belirleyelim:

  Birleşim kümesinin en küçük elemanı, $A$ ve $B$ kümelerindeki en küçük elemanların minimumu olacaktır. $A$'nın en küçük elemanı $-3$, $B$'nin en küçük elemanı $0$'dır. Bu ikisinin minimumu $-3$'tür. $-3$ hem $A$ kümesine dahil olduğu için birleşim kümesine de dahil olacaktır.

  Birleşim kümesinin en büyük elemanı, $A$ ve $B$ kümelerindeki en büyük elemanların maksimumu olacaktır. $A$'nın en büyük elemanı $2$ (dahil değil), $B$'nin en büyük elemanı $5$'tir (dahil). Bu ikisinin maksimumu $5$'tir. $5$ hem $B$ kümesine dahil olduğu için birleşim kümesine de dahil olacaktır.

  Bu durumda, $A \cup B$ kümesi $-3$'ten başlar ve $5$'te biter. Her iki uç nokta da birleşim kümesine dahildir.

• 5. Birleşim Kümesini Yazalım:

  Yukarıdaki adımlara göre, $A \cup B$ kümesi $-3$ dahil, $5$ dahil olmak üzere aralarındaki tüm reel sayıları içerir. Bunu küme notasyonunda şu şekilde ifade ederiz:

  $A \cup B = \{x \mid -3 \le x \le 5, x \in R\}$

• 6. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz sonuç, seçeneklerden A seçeneği ile tamamen aynıdır.

  A) $\{x \mid -3 \le x \le 5, x \in R\}$

  B) $\{x \mid 0 \le x < 2, x \in R\}$ (Bu, $A \cap B$ yani kesişim kümesidir.)

  C) $\{x \mid -3 \le x < 0, x \in R\}$

  D) $\{x \mid 2 \le x \le 5, x \in R\}$

Cevap A seçeneğidir.