Kenar uzunlukları tam sayı olan bir dikdörtgenin alanı 72 birimkaredir. Bu dikdörtgenin çevresinin alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 5Bu soruyu çözmek için, öncelikle dikdörtgenin alan ve çevre formüllerini hatırlamamız ve kenar uzunluklarının tam sayı olma koşulunu kullanmamız gerekiyor.
Bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımına eşittir. Kenar uzunlukları $a$ ve $b$ ise, alan $A = a \times b$ formülüyle bulunur. Soruda alanın 72 birimkare olduğu ve kenar uzunluklarının tam sayı olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, $a \times b = 72$ eşitliğini sağlayan tüm pozitif tam sayı çiftlerini bulmalıyız. Bu çiftler, 72'nin çarpanlarıdır:
$1 \times 72 = 72$
$2 \times 36 = 72$
$3 \times 24 = 72$
$4 \times 18 = 72$
$6 \times 12 = 72$
$8 \times 9 = 72$
Bu çarpan çiftleri, dikdörtgenin olası kenar uzunluklarını temsil eder. (Örneğin, kenarlar 1 birim ve 72 birim olabilir, veya 2 birim ve 36 birim olabilir, vb.)
Bir dikdörtgenin çevresi, kenar uzunluklarının toplamının iki katına eşittir. Çevre $P = 2 \times (a + b)$ formülüyle bulunur. Şimdi, Adım 1'de bulduğumuz her bir kenar çifti için çevreyi hesaplayalım:
Kenarlar $a=1$, $b=72$ ise: $P = 2 \times (1 + 72) = 2 \times 73 = 146$ birim
Kenarlar $a=2$, $b=36$ ise: $P = 2 \times (2 + 36) = 2 \times 38 = 76$ birim
Kenarlar $a=3$, $b=24$ ise: $P = 2 \times (3 + 24) = 2 \times 27 = 54$ birim
Kenarlar $a=4$, $b=18$ ise: $P = 2 \times (4 + 18) = 2 \times 22 = 44$ birim
Kenarlar $a=6$, $b=12$ ise: $P = 2 \times (6 + 12) = 2 \times 18 = 36$ birim
Kenarlar $a=8$, $b=9$ ise: $P = 2 \times (8 + 9) = 2 \times 17 = 34$ birim
Hesapladığımız çevre değerleri şunlardır: 146, 76, 54, 44, 36, 34. Bu değerlerin hepsi birbirinden farklıdır. Bu nedenle, çevrenin alabileceği farklı değer sayısı, bulduğumuz bu değerlerin sayısı kadardır.
Toplamda 6 farklı çevre değeri bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
