M = [-5, 8) ve N = [0, 10] aralıkları veriliyor. M $\setminus$ N işleminin sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Sayı doğrusunda -5'ten 0'a kadar olan tüm noktalar, -5 dahil, 0 hariç.
B) Sayı doğrusunda -5'ten 0'a kadar olan tüm noktalar, -5 ve 0 dahil.
C) Sayı doğrusunda 8'den 10'a kadar olan tüm noktalar, 8 dahil, 10 hariç.
D) Sayı doğrusunda 0'dan 8'e kadar olan tüm noktalar, 0 dahil, 8 hariç.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen iki aralık kümesi üzerinde bir küme farkı işlemi yapacağız ve sonucu sayı doğrusu üzerinde nasıl gösterildiğini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Verilen Aralıkları Anlayalım
- Öncelikle, verilen aralıkların ne anlama geldiğini netleştirelim:
- $M = [-5, 8)$ aralığı, $-5$ dahil olmak üzere $8$ hariç tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, bu aralıktaki bir $x$ sayısı için $-5 \le x < 8$ koşulu geçerlidir. Köşeli parantez ($[$ veya $]$) o sayının aralığa dahil olduğunu, normal parantez (($$ veya $)$) ise o sayının aralığa dahil olmadığını gösterir.
- $N = [0, 10]$ aralığı, $0$ dahil olmak üzere $10$ dahil tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, bu aralıktaki bir $x$ sayısı için $0 \le x \le 10$ koşulu geçerlidir.
- Adım 2: Küme Farkı ($M \setminus N$) İşlemini Tanıyalım
- $M \setminus N$ işlemi, "M kümesinde olup N kümesinde olmayan elemanlar" anlamına gelir. Başka bir deyişle, $M$ aralığındaki sayılardan, $N$ aralığına ait olanları çıkarmamız gerekiyor. Sayı doğrusu üzerinde düşünürsek, $M$ aralığını çizip, bu aralığın $N$ ile kesişen kısmını atmalıyız.
- Adım 3: Aralıkları Sayı Doğrusunda Görselleştirelim
- $M$ aralığı: Sayı doğrusunda $-5$'ten başlar (kapalı nokta, yani içi dolu daire), $8$'e kadar gider (açık nokta, yani içi boş daire).
- $N$ aralığı: Sayı doğrusunda $0$'dan başlar (kapalı nokta), $10$'a kadar gider (kapalı nokta).
- Adım 4: $M \setminus N$ İşlemini Uygulayalım
- $M$ aralığı $[-5, 8)$'dir.
- $N$ aralığı $[0, 10]$'dur.
- Biz $M$'nin içinde olup $N$'nin içinde olmayan sayıları arıyoruz.
- $M$ aralığı $-5$'ten başlar. Bu $-5$ sayısı $N$ aralığında ($[0, 10]$) değildir. Dolayısıyla $-5$ sayısı $M \setminus N$ sonucuna dahil olmalıdır.
- $M$ aralığı $8$'e kadar gider (ama $8$ dahil değildir). $N$ aralığı $0$'dan başlar.
- $M$'nin $N$ ile kesişen kısmı $0$'dan başlar ve $8$'e kadar gider (çünkü $M$ $8$'i içermez, kesişim küçük olan sınırı alır). Yani $M \cap N = [0, 8)$.
- $M \setminus N$ işlemi, $M$ aralığının $N$ aralığına girmeden önceki kısmını ifade eder. Bu kısım $-5$'ten başlar ve $N$'nin başlangıç noktası olan $0$'a kadar devam eder.
- $-5$ sayısı $M$'nin içindedir ve $N$'nin dışında olduğu için sonuca dahil olur.
- $0$ sayısı $M$'nin içindedir ve aynı zamanda $N$'nin de içindedir. Küme farkı tanımına göre, $N$'nin içinde olan elemanlar sonuçtan çıkarılacağı için $0$ sayısı sonuca dahil edilmez.
- Bu durumda, $M \setminus N$ aralığı $-5$'ten $0$'a kadar olan sayılardır, $-5$ dahil ve $0$ hariç. Yani, $[-5, 0)$.
- Adım 5: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz sonuç $[-5, 0)$ aralığıdır. Şimdi bu aralığı seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) Sayı doğrusunda -5'ten 0'a kadar olan tüm noktalar, -5 dahil, 0 hariç. Bu ifade, bizim bulduğumuz $[-5, 0)$ aralığı ile tamamen aynıdır.
- B) Sayı doğrusunda -5'ten 0'a kadar olan tüm noktalar, -5 ve 0 dahil. Bu ifade $[-5, 0]$ aralığını belirtir ve yanlıştır.
- C) Sayı doğrusunda 8'den 10'a kadar olan tüm noktalar, 8 dahil, 10 hariç. Bu ifade $[8, 10)$ aralığını belirtir ve sorumuzla ilgisi yoktur.
- D) Sayı doğrusunda 0'dan 8'e kadar olan tüm noktalar, 0 dahil, 8 hariç. Bu ifade $[0, 8)$ aralığını belirtir ve aslında $M \cap N$ (M kesişim N) kümesini ifade eder, $M \setminus N$ değil.
Bu adımları takip ettiğimizde, doğru seçeneğin A olduğunu açıkça görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
