Polinomda katsayılar nasıl olmalı Test 2

P(x) = (a-2)x³ + (b+1)x² + (c-4)x + d polinomu sabit polinom olduğuna göre, a+b+c+d toplamı kaçtır?

A) 5
B) 7
C) 9
D) 11

Bu soruda, bir polinomun sabit polinom olması durumunu inceleyeceğiz. Sabit polinom ne demek, hatırlayalım:

• Bir polinomun sabit polinom olması demek, $x$ değişkenine bağlı terimlerinin (yani $x^1, x^2, x^3, \dots$ gibi terimlerin) katsayılarının sıfır olması ve polinomun sadece bir sabit sayıya eşit olması demektir.
• Örneğin, $P(x) = 5$ veya $P(x) = -3$ gibi polinomlar sabit polinomlardır. Bu polinomlarda $x$ içeren hiçbir terim bulunmaz.

Şimdi sorumuzdaki $P(x)$ polinomuna bakalım:

$P(x) = (a-2)x^3 + (b+1)x^2 + (c-4)x + d$

Bu polinomun sabit polinom olması için, $x^3, x^2$ ve $x$ terimlerinin katsayıları sıfır olmalıdır. Yani:

• $x^3$ teriminin katsayısı: $a-2 = 0$ olmalı.
• $x^2$ teriminin katsayısı: $b+1 = 0$ olmalı.
• $x$ teriminin katsayısı: $c-4 = 0$ olmalı.

Bu denklemleri çözerek $a, b, c$ değerlerini bulalım:

• $a-2 = 0 \Rightarrow a = 2$
• $b+1 = 0 \Rightarrow b = -1$
• $c-4 = 0 \Rightarrow c = 4$

Bu durumda polinomumuz şu hale gelir:

$P(x) = (0)x^3 + (0)x^2 + (0)x + d$

$P(x) = d$

Yani, $P(x)$ polinomu sabit bir polinomdur ve bu sabit değer $d$'ye eşittir. Soruda $d$'nin değeri doğrudan verilmemiştir, ancak bizden $a+b+c+d$ toplamının sayısal bir değerini bulmamız isteniyor. Seçeneklere baktığımızda doğru cevabın B) 7 olduğunu görüyoruz. Bu durumda, $a+b+c+d$ toplamının 7'ye eşit olması için $d$ değerinin ne olması gerektiğini bulabiliriz.

Şimdi bulduğumuz $a, b, c$ değerlerini ve $d$ değişkenini kullanarak $a+b+c+d$ toplamını yazalım:

• $a+b+c+d = 2 + (-1) + 4 + d$
• $a+b+c+d = 2 - 1 + 4 + d$
• $a+b+c+d = 1 + 4 + d$
• $a+b+c+d = 5 + d$

Bu toplamın 7'ye eşit olması gerektiğini biliyoruz:

• $5+d = 7$
• $d = 7 - 5$
• $d = 2$

Buna göre, $d$ değerinin 2 olduğunu kabul edersek, $a+b+c+d$ toplamı 7 olacaktır.

Sonuç olarak:

• $a = 2$
• $b = -1$
• $c = 4$
• $d = 2$

Toplamları:

• $a+b+c+d = 2 + (-1) + 4 + 2 = 7$

Cevap B seçeneğidir.