Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım inceleyerek doğru cevabı bulalım. Polinomlar konusu, matematikte çok önemli bir yer tutar ve bu tür sorular, temel kavramları ne kadar iyi anladığınızı gösterir.
- Öncelikle, bize verilen polinomu yazalım: $P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
- Soruda önemli bir bilgi var: "P(x) polinomu tek dereceli terimleri içermeyen bir polinomdur." Bu ifade ne anlama geliyor? Bir polinomda, $x$'in kuvveti (üssü) terimin derecesini belirler. Örneğin, $x^4$ teriminin derecesi 4'tür, $x^3$ teriminin derecesi 3'tür. Sabit terim olan $e$ ise $ex^0$ olarak düşünülebilir ve derecesi 0'dır.
- Şimdi, polinomdaki her terimin derecesini ve bu derecenin tek mi çift mi olduğunu belirleyelim:
- $ax^4$ teriminin derecesi 4'tür. 4 çift bir sayıdır.
- $bx^3$ teriminin derecesi 3'tür. 3 tek bir sayıdır.
- $cx^2$ teriminin derecesi 2'dir. 2 çift bir sayıdır.
- $dx$ (yani $dx^1$) teriminin derecesi 1'dir. 1 tek bir sayıdır.
- $e$ (yani $ex^0$) teriminin derecesi 0'dır. 0 çift bir sayıdır.
- Soruda, polinomun "tek dereceli terimleri içermediği" belirtiliyor. Bu, derecesi tek olan terimlerin polinomda bulunmaması gerektiği anlamına gelir. Bir terimin polinomda bulunmaması için o terimin katsayısının sıfır olması gerekir.
- Tek dereceli terimler $bx^3$ (derecesi 3) ve $dx$ (derecesi 1)'tir. Bu terimlerin polinomda olmaması için katsayıları sıfır olmalıdır. Yani, $b = 0$ ve $d = 0$ olmalıdır.
- Çift dereceli terimler ise $ax^4$, $cx^2$ ve $e$'dir. Bu terimlerin katsayıları ($a$, $c$, $e$) hakkında herhangi bir kısıtlama yoktur. Yani, bu katsayılar sıfır olabilir de olmayabilir de. Soru bizden "kesinlikle doğru olanı" bulmamızı istiyor.
- Seçenekleri inceleyelim:
- A) $a = c = e = 0$: Bu kesinlikle doğru değildir çünkü $a$, $c$ ve $e$ sıfırdan farklı olabilir. Örneğin, $P(x) = 2x^4 + 5x^2 + 7$ polinomu tek dereceli terim içermez ve $a=2, c=5, e=7$ olur.
- B) $b = d = 0$: Bu kesinlikle doğrudur. Tek dereceli terimlerin olmaması için $x^3$ ve $x^1$ terimlerinin katsayıları sıfır olmalıdır.
- C) $a = b = c = 0$: Bu kesinlikle doğru değildir çünkü $a$ ve $c$ sıfırdan farklı olabilir.
- D) $c = d = e = 0$: Bu kesinlikle doğru değildir çünkü $c$ ve $e$ sıfırdan farklı olabilir.
Bu analizlere göre, tek dereceli terimlerin katsayıları olan $b$ ve $d$ kesinlikle sıfır olmalıdır.
Cevap B seçeneğidir.
