Eşitsizlik nedir Test 2

Bir mağaza, satış fiyatı 200 TL olan ürünlerde miktara göre indirim uygulamaktadır. \( x \) adet ürün alındığında ödenecek tutar \( 200x - 10x^2 \) TL'dir. Bu ifadenin pozitif olması için bir kişi en fazla kaç adet ürün alabilir?

A) 18
B) 19
C) 20
D) 21

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, bir mağazanın uyguladığı indirimli fiyatlandırma sistemini ve bu sistemde ödenecek tutarın pozitif kalması için alınabilecek maksimum ürün sayısını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Problemi Anlayalım:

  Mağazada normalde bir ürünün fiyatı 200 TL. Ancak $x$ adet ürün alındığında ödenecek toplam tutar $200x - 10x^2$ TL olarak verilmiş. Bizden istenen, bu ödenecek tutarın pozitif olması için alınabilecek en fazla ürün sayısı, yani $x$ değeridir.

• 2. Matematiksel İfadeyi Kuralım:

  Ödenecek tutarın pozitif olması demek, bu ifadenin 0'dan büyük olması demektir. O halde eşitsizliğimizi yazalım:

  $200x - 10x^2 > 0$

• 3. Eşitsizliği Çözelim:

  Bu eşitsizliği çözmek için önce ifadeyi çarpanlarına ayıralım. Her iki terimde de $10x$ ortak çarpanı bulunmaktadır:

  $10x(20 - x) > 0$

  Şimdi bu eşitsizliğin köklerini bulalım. Kökler, ifadenin 0 olduğu noktalardır:

  • $10x = 0 \Rightarrow x = 0$
  • $20 - x = 0 \Rightarrow x = 20$

  Bu kökler, sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $(-\infty, 0)$, $(0, 20)$ ve $(20, \infty)$. Şimdi bu aralıklarda ifadenin işaretini inceleyelim:

  • $x < 0$ için (örneğin $x = -1$):

    $10(-1)(20 - (-1)) = -10(21) = -210$. Bu değer 0'dan küçüktür (negatif).

  • $0 < x < 20$ için (örneğin $x = 1$):

    $10(1)(20 - 1) = 10(19) = 190$. Bu değer 0'dan büyüktür (pozitif).

  • $x > 20$ için (örneğin $x = 21$):

    $10(21)(20 - 21) = 210(-1) = -210$. Bu değer 0'dan küçüktür (negatif).

  Bizim aradığımız durum, ifadenin pozitif olduğu aralıktır. Bu da $0 < x < 20$ aralığıdır.

• 4. Sonucu Yorumlayalım:

  $x$ adet ürün sayısını temsil ettiği için, $x$ bir pozitif tam sayı olmalıdır. Eşitsizliğimiz $0 < x < 20$ olduğuna göre, $x$ değeri 0'dan büyük ve 20'den küçük tam sayılar olabilir. Yani $x$ değerleri $1, 2, 3, ..., 19$ olabilir.

  Soruda bizden istenen, bir kişinin en fazla kaç adet ürün alabileceğidir. Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri $19$'dur.

Bu durumda, bir kişi en fazla 19 adet ürün alabilir ki ödenecek tutar pozitif olsun.

Cevap B seçeneğidir.