Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde olasılık kavramını ve kombinasyonları kullanarak bir çözüm bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve her bir adımı dikkatlice anlayalım.
- Adım 1: Toplam Seçim Sayısını Bulma
- Öncelikle, 1'den 10'a kadar olan 10 karttan rastgele 3 kartı kaç farklı şekilde seçebileceğimizi bulmalıyız. Kartları seçme sırası önemli olmadığı için bu bir kombinasyon problemidir.
- 10 karttan 3 kart seçme kombinasyonu $C(10, 3)$ ile gösterilir ve şu formülle hesaplanır: $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
- Burada $n=10$ (toplam kart sayısı) ve $k=3$ (seçilen kart sayısı) olduğundan:
- $C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3 \times 2 \times 1 \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$
- Yani, toplamda 120 farklı şekilde 3 kart seçebiliriz. Bu, tüm olası durumların sayısıdır.
- Adım 2: Ortadaki Sayının 5 Olduğu Durumları Bulma
- Şimdi, seçtiğimiz üç kartı küçükten büyüğe sıraladığımızda ortadaki sayının 5 olduğu durumları bulmalıyız.
- Eğer ortadaki sayı 5 ise, seçtiğimiz üç sayı $x, 5, y$ şeklinde olmalıdır; burada $x < 5$ ve $y > 5$'tir.
- Öncelikle 5'ten küçük bir sayı ($x$) seçmeliyiz. 5'ten küçük sayılar {1, 2, 3, 4}'tür. Bu sayılar arasından 1 tane seçmeliyiz. Yani 4 farklı seçeneğimiz var.
- Ardından 5'ten büyük bir sayı ($y$) seçmeliyiz. 5'ten büyük sayılar {6, 7, 8, 9, 10}'dur. Bu sayılar arasından 1 tane seçmeliyiz. Yani 5 farklı seçeneğimiz var.
- Ortadaki sayı zaten 5 olarak belirlendiği için, bu 5'i de seçmiş oluyoruz.
- Ortadaki sayının 5 olduğu durumların sayısı, 5'ten küçük bir sayı seçme olasılığı ile 5'ten büyük bir sayı seçme olasılığının çarpımıdır: $4 \times 5 = 20$
- Yani, ortadaki sayının 5 olduğu 20 farklı durum vardır. Bu, istenen durumların sayısıdır.
- Adım 3: Olasılığı Hesaplama
- Olasılık, istenen durumların sayısının, tüm olası durumların sayısına oranıdır.
- Olasılık = $\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}}$
- Olasılık = $\frac{20}{120}$
- Adım 4: Olasılığı Sadeleştirme
- Bulduğumuz kesri sadeleştirelim:
- $\frac{20}{120} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
Bu durumda, ortadaki sayının 5 olma olasılığı $ rac{1}{6}$'dır.
Cevap A seçeneğidir.
