Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir ıraksak mercekte cismin görüntüsünün boyu ile cismin boyu arasındaki ilişkiyi kullanarak cismin merceğe olan uzaklığını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi çözelim.
- Adım 1: Verilen Bilgileri ve Hedefi Belirleyelim.
- Mercek türü: Iraksak mercek.
- Odak uzaklığı ($f$): Iraksak mercek olduğu için odak uzaklığı negatiftir. $f = -20$ cm.
- Görüntünün boyu ($h_g$): Cismin boyunun ($h_c$) yarısı kadardır. Yani, $h_g = \frac{h_c}{2}$.
- Hedefimiz: Cismin mercekten ne kadar uzakta olduğunu ($d_c$) bulmak.
- Adım 2: Büyütme (Magnification) Oranını ($M$) Hesaplayalım.
- Büyütme oranı, görüntünün boyunun cismin boyuna oranıdır: $M = \frac{h_g}{h_c}$.
- Verilen bilgiye göre $h_g = \frac{h_c}{2}$ olduğundan, bu değeri formülde yerine yazalım:
$M = \frac{h_c / 2}{h_c} = \frac{1}{2}$.
- Iraksak merceklerde oluşan görüntü her zaman sanal, düz ve küçültülmüş olduğu için büyütme oranı pozitif ve 1'den küçüktür. Bulduğumuz $M = \frac{1}{2}$ değeri bu durumu doğrulamaktadır.
- Adım 3: Görüntü Uzaklığı ($d_g$) ile Cisim Uzaklığı ($d_c$) Arasındaki İlişkiyi Kuralım.
- Büyütme oranının bir diğer formülü, görüntü uzaklığı ve cisim uzaklığı cinsinden şöyledir: $M = -\frac{d_g}{d_c}$.
- Bulduğumuz $M = \frac{1}{2}$ değerini bu formülde yerine yazalım:
$\frac{1}{2} = -\frac{d_g}{d_c}$.
- Bu denklemden $d_g$ değerini $d_c$ cinsinden ifade edebiliriz:
$d_g = -\frac{d_c}{2}$.
- Iraksak mercekte görüntü sanal olduğu için $d_g$ değeri negatif olmalıdır. Bulduğumuz ifade de $d_c$ pozitif olduğunda $d_g$ negatif çıkacağı için bu durumla uyumludur.
- Adım 4: Mercek Denklemini Kullanarak Cisim Uzaklığını ($d_c$) Hesaplayalım.
- Mercek denklemi şöyledir: $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_c} + \frac{1}{d_g}$.
- Verilen odak uzaklığı $f = -20$ cm ve Adım 3'te bulduğumuz $d_g = -\frac{d_c}{2}$ ilişkisini mercek denkleminde yerine yazalım:
$\frac{1}{-20} = \frac{1}{d_c} + \frac{1}{(-d_c / 2)}$.
- Denklemi düzenleyelim:
$\frac{1}{-20} = \frac{1}{d_c} - \frac{2}{d_c}$.
- Sağ tarafı ortak paydada toplayalım:
$\frac{1}{-20} = \frac{1 - 2}{d_c}$.
- $\frac{1}{-20} = \frac{-1}{d_c}$.
- Her iki tarafın tersini alarak $d_c$ değerini bulalım:
$-20 = -d_c$.
- $d_c = 20$ cm.
Buna göre, cismin mercekten $20$ cm uzakta olması gerekmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
