Ardışık çift sayıların toplamı Test 1

İlk \( n \) ardışık çift sayının toplamı 110 olduğuna göre, \( n \) kaçtır?

A) 9
B) 10
C) 11
D) 12

Bu soruda, ilk $n$ ardışık çift sayının toplamının 110 olduğu bilgisi verilmiş ve bizden $n$ değerini bulmamız isteniyor.

• Adım 1: İlk $n$ ardışık çift sayıları belirleyelim.

  İlk $n$ ardışık çift sayılar şunlardır: $2, 4, 6, \dots, 2n$.

• Adım 2: Bu sayıların toplamı için bir formül oluşturalım.

  Bu bir aritmetik dizidir. Ancak çift sayıların toplamı için daha pratik bir formül de kullanabiliriz. Tüm terimleri 2 parantezine alırsak:

  $2 + 4 + 6 + \dots + 2n = 2(1 + 2 + 3 + \dots + n)$

  Parantez içindeki ifade, ilk $n$ pozitif tam sayının toplamıdır ve bu toplamın formülü $\frac{n(n+1)}{2}$'dir.

  O halde, ilk $n$ ardışık çift sayının toplamı şu şekilde ifade edilir:

  $2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

• Adım 3: Verilen toplamı kullanarak denklemi kuralım.

  Soruda bu toplamın 110 olduğu belirtilmiştir. Bu durumda denklemi şöyle kurarız:

  $n(n+1) = 110$

• Adım 4: Denklemi çözerek $n$ değerini bulalım.

  Denklemi açalım ve ikinci dereceden bir denklem haline getirelim:

  $n^2 + n = 110$

  $n^2 + n - 110 = 0$

  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-110$ ve toplamları $1$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $11$ ve $-10$'dur.

  $(n+11)(n-10) = 0$

  Buradan iki olası $n$ değeri elde ederiz: $n+11 = 0 \implies n = -11$ veya $n-10 = 0 \implies n = 10$.

  Ancak $n$ bir sayı adedini temsil ettiği için pozitif bir tam sayı olmalıdır. Bu nedenle $n = -11$ değeri geçersizdir.

  Dolayısıyla, $n = 10$ olmalıdır.

• Adım 5: Sonucu kontrol edelim.

  Eğer $n=10$ ise, ilk 10 ardışık çift sayının toplamı:

  $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20$

  Veya formülü kullanarak: $n(n+1) = 10(10+1) = 10 \cdot 11 = 110$.

  Sonuç, soruda verilen toplamla eşleşmektedir.

Cevap B seçeneğidir.