arcsin(1/2) + arccos(1/2) ifadesinin değeri kaçtır?
A) π/6Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için ters trigonometrik fonksiyonların (arksinüs ve arkkosinüs) ne anlama geldiğini ve bazı özel açıların trigonometrik değerlerini hatırlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
Ters trigonometrik fonksiyonlar, bir trigonometrik değer verildiğinde bu değere sahip olan açıyı bulmamızı sağlar.
$arcsin(x)$ (veya $sin^{-1}(x)$) demek, sinüsü $x$ olan açıyı bulmak demektir. Bu açının genellikle $[-\pi/2, \pi/2]$ aralığında olması beklenir.
$arccos(x)$ (veya $cos^{-1}(x)$) demek, kosinüsü $x$ olan açıyı bulmak demektir. Bu açının genellikle $[0, \pi]$ aralığında olması beklenir.
Hangi açının sinüsü $1/2$'dir? Bunu bulmak için birim çemberi veya özel üçgenleri düşünebiliriz.
$sin(30^\circ) = 1/2$ olduğunu biliyoruz.
Radyan cinsinden $30^\circ$, $\pi/6$ demektir.
Bu açı, $arcsin$ fonksiyonunun ana değer aralığı olan $[-\pi/2, \pi/2]$ içindedir.
Bu nedenle, $arcsin(1/2) = \pi/6$.
Şimdi de hangi açının kosinüsü $1/2$'dir, bunu bulalım.
$cos(60^\circ) = 1/2$ olduğunu biliyoruz.
Radyan cinsinden $60^\circ$, $\pi/3$ demektir.
Bu açı, $arccos$ fonksiyonunun ana değer aralığı olan $[0, \pi]$ içindedir.
Bu nedenle, $arccos(1/2) = \pi/3$.
Şimdi bulduğumuz bu iki değeri toplayarak ifadenin sonucunu bulalım:
$arcsin(1/2) + arccos(1/2) = \pi/6 + \pi/3$
Toplama işlemini yapabilmek için paydaları eşitlememiz gerekiyor. $\pi/3$ ifadesini $2\pi/6$ olarak yazabiliriz.
$\pi/6 + 2\pi/6 = (1\pi + 2\pi)/6 = 3\pi/6$
Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde: $3\pi/6 = \pi/2$ sonucunu elde ederiz.
Aslında, $x \in [-1, 1]$ olmak üzere, $arcsin(x) + arccos(x) = \pi/2$ şeklinde genel bir özdeşlik bulunmaktadır. Bu özdeşlik, bu tür soruları daha hızlı çözmenize yardımcı olabilir. Bu soruda $x = 1/2$ olduğu için, doğrudan $\pi/2$ cevabını verebilirdik.
Bu adımları takip ettiğimizde, $arcsin(1/2) + arccos(1/2)$ ifadesinin değerinin $\pi/2$ olduğunu görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
