Bir sınıftaki kız öğrencilerin boy ortalaması 162 cm, erkek öğrencilerin boy ortalaması 170 cm'dir. Tüm sınıfın boy ortalaması 166 cm olduğuna göre, sınıftaki kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı kaçtır?
A) 1/2
B) 2/3
C) 3/4
D) 4/5
E) 5/6
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu tür ortalama sorularında, sınıfın genel ortalaması, kız ve erkek öğrenci sayılarının bir ağırlıklı ortalamasıdır. Bu problemi adım adım çözerek, sınıftaki kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranını bulalım.
- Adım 1: Verilen Bilgileri Tanımlayalım
- Kız öğrencilerin boy ortalaması ($K_{ort}$): $162$ cm
- Erkek öğrencilerin boy ortalaması ($E_{ort}$): $170$ cm
- Tüm sınıfın boy ortalaması ($S_{ort}$): $166$ cm
- Kız öğrenci sayısı: $K$
- Erkek öğrenci sayısı: $E$
- Adım 2: Toplam Boyları İfade Edelim
- Kız öğrencilerin toplam boyu: $K \times K_{ort} = 162K$
- Erkek öğrencilerin toplam boyu: $E \times E_{ort} = 170E$
- Tüm sınıfın toplam boyu: $162K + 170E$
- Adım 3: Sınıf Ortalaması Denklemini Kuralım
- Sınıfın toplam boy ortalaması, tüm öğrencilerin toplam boyunun, toplam öğrenci sayısına bölünmesiyle bulunur:
- $S_{ort} = \frac{\text{Kızların Toplam Boyu} + \text{Erkeklerin Toplam Boyu}}{\text{Kız Sayısı} + \text{Erkek Sayısı}}$
- $166 = \frac{162K + 170E}{K + E}$
- Adım 4: Denklemi Çözerek Oranı Bulalım
- Denklemi düzenleyelim ve her iki tarafı $(K + E)$ ile çarpalım:
- $166(K + E) = 162K + 170E$
- Parantezi dağıtalım:
- $166K + 166E = 162K + 170E$
- $K$ terimlerini denklemin bir tarafına, $E$ terimlerini diğer tarafına toplayalım:
- $166K - 162K = 170E - 166E$
- $4K = 4E$
- Şimdi, kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranını ($K/E$) bulmak için her iki tarafı $4E$ ile bölelim:
- $\frac{4K}{4E} = \frac{4E}{4E}$
- $\frac{K}{E} = 1$
Bu durumda, sınıftaki kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı $1$'dir. Bu, sınıftaki kız ve erkek öğrenci sayılarının eşit olduğu anlamına gelir.
Cevap A seçeneğidir.
