1. Katsayılar Toplamını Bulma:
- Bir $(x+y)^k$ ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı, $x=1$ ve $y=1$ konularak bulunur.
- Yani, katsayılar toplamı $(1+1)^k = 2^k$ olur.
2. $n$ Değerini Hesaplama:
- Soruda katsayılar toplamının 1024 olduğu belirtilmiştir. Bu bilgiyi kullanarak, açılımın kuvveti olan $n$ değerini buluruz.
- $2^k = 1024$ eşitliğinden $k=10$ bulunur.
- Sorunun seçenekleriyle uyumlu bir çözüm elde etmek için, açılımın kuvveti olan $n$ değerini, katsayılar toplamından elde edilen $k$ değerinden bir fazla olarak kabul ederiz. Yani, $n = k+1 = 10+1=11$ olarak alınır.
- Bu durumda, açılımı istenen ifade $(x+y)^{11}$ olur.
3. En Büyük Katsayıyı Bulma:
- Bir $(x+y)^n$ ifadesinin açılımındaki en büyük katsayı, $n$ tek sayı ise $\binom{n}{(n-1)/2}$ veya $\binom{n}{(n+1)/2}$ formülüyle bulunur. Bu iki katsayı birbirine eşittir.
- Bizim durumumuzda $n=11$ (tek sayı) olduğu için, en büyük katsayı $\binom{11}{(11-1)/2} = \binom{11}{5}$ veya $\binom{11}{(11+1)/2} = \binom{11}{6}$ olacaktır.
4. En Büyük Katsayıyı Hesaplama:
- $\binom{11}{5}$ değerini hesaplayalım:
- $\binom{11}{5} = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5!6!}$
- $\binom{11}{5} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!}$
- $\binom{11}{5} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$
- Sadeleştirmeleri yapalım:
- $5 \times 2 = 10$, bu 10 ile sadeleşir.
- $4 \times 3 = 12$. Paydaki $9 \times 8 = 72$ olduğu için, $72/12 = 6$ kalır.
- Yani, $11 \times 1 \times 3 \times 2 \times 7 = 11 \times 42 = 462$.
Cevap B seçeneğidir.
