Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, matematiksel ifadelerden hangisinin bir özdeşlik olduğunu bulmamız isteniyor. Öncelikle bir özdeşliğin ne olduğunu hatırlayalım:
- Bir özdeşlik, içinde bulunan değişkenlerin (burada $x$) yerine hangi değeri koyarsak koyalım, eşitliğin her zaman doğru kaldığı bir matematiksel ifadedir. Yani, eşitliğin her iki tarafı da her zaman birbirine eşittir.
- Bir denklem ise, değişkenin sadece belirli bir veya birkaç değeri için doğru olan bir eşitliktir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $x + 5 = 8$
- Bu bir denklemdir. Eşitliğin doğru olması için $x$'in belirli bir değer alması gerekir.
- Eşitliği çözdüğümüzde $x = 8 - 5 \Rightarrow x = 3$ buluruz.
- Sadece $x = 3$ için doğru olan bu ifade, $x$'in başka değerleri için (örneğin $x=1$ için $1+5=6 \neq 8$) doğru değildir. Bu yüzden bir özdeşlik değildir.
- B) $2x - 3 = 7$
- Bu da bir denklemdir. Eşitliğin doğru olması için $x$'in belirli bir değer alması gerekir.
- Eşitliği çözdüğümüzde $2x = 7 + 3 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$ buluruz.
- Sadece $x = 5$ için doğru olan bu ifade, $x$'in başka değerleri için (örneğin $x=1$ için $2(1)-3=-1 \neq 7$) doğru değildir. Bu yüzden bir özdeşlik değildir.
- C) $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$
- Bu ifadeyi inceleyelim. Eşitliğin sol tarafı, bir tam kare ifadenin açılımıdır.
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ özdeşliğini hatırlayalım. Burada $a=x$ ve $b=3$ alırsak:
- $(x-3)^2 = x^2 - 2(x)(3) + 3^2 = x^2 - 6x + 9$ olur.
- Gördüğümüz gibi, eşitliğin sol tarafını açtığımızda sağ taraftaki ifadeyi elde ediyoruz. Bu, $x$'in yerine hangi sayıyı koyarsak koyalım, eşitliğin her zaman doğru olacağı anlamına gelir.
- Örneğin, $x=1$ için: $(1-3)^2 = (-2)^2 = 4$ ve $1^2 - 6(1) + 9 = 1 - 6 + 9 = 4$. Eşitlik doğru.
- Örneğin, $x=0$ için: $(0-3)^2 = (-3)^2 = 9$ ve $0^2 - 6(0) + 9 = 0 - 0 + 9 = 9$. Eşitlik doğru.
- Bu ifade bir özdeşliktir.
- D) $4x = 20$
- Bu da bir denklemdir. Eşitliğin doğru olması için $x$'in belirli bir değer alması gerekir.
- Eşitliği çözdüğümüzde $x = \frac{20}{4} \Rightarrow x = 5$ buluruz.
- Sadece $x = 5$ için doğru olan bu ifade, $x$'in başka değerleri için (örneğin $x=1$ için $4(1)=4 \neq 20$) doğru değildir. Bu yüzden bir özdeşlik değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece C seçeneğindeki ifadenin $x$'in tüm değerleri için doğru olduğunu gördük.
Cevap C seçeneğidir.
