De Morgan kuralları, kümeler teorisinde tümleme (kompleman) ve birleşim/kesişim işlemleri arasındaki ilişkiyi açıklayan temel kurallardır. Bu kurallar, karmaşık küme ifadelerini daha basit veya farklı bir şekilde ifade etmemizi sağlar.
- De Morgan kuralları iki temel prensipten oluşur:
- Birleşimin Tümleyeni: İki kümenin birleşiminin tümleyeni, bu kümelerin tümleyenlerinin kesişimine eşittir. Matematiksel olarak, $(A \cup B)' = A' \cap B'$ şeklinde ifade edilir.
- Kesişimin Tümleyeni: İki kümenin kesişiminin tümleyeni, bu kümelerin tümleyenlerinin birleşimine eşittir. Matematiksel olarak, $(A \cap B)' = A' \cup B'$ şeklinde ifade edilir.
- Soru bize "kesişimin tümleyeni"nin neye eşit olduğunu sormaktadır. Yukarıdaki ikinci kurala baktığımızda, $(A \cap B)'$ ifadesinin $A' \cup B'$ ifadesine eşit olduğunu görüyoruz.
- Bu ifadeyi Türkçe olarak yorumladığımızda, $A'$ "A kümesinin tümleyeni" ve $B'$ "B kümesinin tümleyeni" anlamına gelir. Aradaki $\cup$ sembolü ise "birleşim" anlamına gelir. Dolayısıyla, $A' \cup B'$ ifadesi "A'nın tümleyeni ile B'nin tümleyeninin birleşimi" veya daha kısa ve öz bir ifadeyle "Tümleyenlerin birleşimi" demektir.
- Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) Tümleyenlerin birleşimi: Bu ifade, bulduğumuz $A' \cup B'$ sonucunu tam olarak karşılamaktadır.
- B) Tümleyenlerin kesişimi: Bu ifade, birleşimin tümleyeni olan $(A \cup B)' = A' \cap B'$ kuralının sağ tarafıdır. Sorumuzla uyuşmamaktadır.
- C) Birleşimin tümleyeni: Bu ifade, De Morgan kurallarının diğer tarafının sol kısmıdır, yani $(A \cup B)'$. Sorumuz kesişimin tümleyenini sormaktadır.
- D) Kümelerin simetrik farkı: Bu, kümeler teorisinde farklı bir işlemdir ve De Morgan kurallarıyla doğrudan ilgili değildir.
Bu adımları takip ettiğimizde, kesişimin tümleyeninin tümleyenlerin birleşimine eşit olduğunu açıkça görmekteyiz.
Cevap A seçeneğidir.
