sin(x) = -√3/2 denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 4π/3 + 2kπ ve x = 5π/3 + 2kπ, k ∈ Z
B) x = π/3 + 2kπ ve x = 2π/3 + 2kπ, k ∈ Z
C) x = 2π/3 + 2kπ ve x = 4π/3 + 2kπ, k ∈ Z
D) x = 5π/6 + 2kπ ve x = 7π/6 + 2kπ, k ∈ Z
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle $\sin(x) = -\sqrt{3}/2$ denkleminin genel çözümünü adım adım bulacağız. Bu tür trigonometrik denklemleri çözerken, birim çemberi ve özel açıları hatırlamak işimizi çok kolaylaştırır.
- Adım 1: Temel Açıyı Belirleme
- Öncelikle, $\sin(\alpha) = \sqrt{3}/2$ eşitliğini sağlayan temel açıyı bulalım. Bu açı, $60^\circ$ veya radyan cinsinden $\pi/3$'tür. Bu bizim referans açımız olacak.
- Adım 2: İşareti Dikkate Alma ve Bölgeyi Belirleme
- Denklemde $\sin(x) = -\sqrt{3}/2$ olduğu için, sinüs değerinin negatif olduğu bölgeleri bulmalıyız. Sinüs fonksiyonu, birim çemberde y-koordinatını temsil eder. y-koordinatının negatif olduğu bölgeler üçüncü ve dördüncü bölgelerdir.
- Adım 3: Üçüncü Bölgedeki Çözümü Bulma
- Üçüncü bölgedeki bir açı, $\pi$ (veya $180^\circ$) ile referans açının toplamı şeklinde ifade edilir.
- $x_1 = \pi + \text{referans açı}$
- $x_1 = \pi + \pi/3$
- $x_1 = 3\pi/3 + \pi/3$
- $x_1 = 4\pi/3$
- Adım 4: Dördüncü Bölgedeki Çözümü Bulma
- Dördüncü bölgedeki bir açı, $2\pi$ (veya $360^\circ$) ile referans açının farkı şeklinde ifade edilir.
- $x_2 = 2\pi - \text{referans açı}$
- $x_2 = 2\pi - \pi/3$
- $x_2 = 6\pi/3 - \pi/3$
- $x_2 = 5\pi/3$
- Adım 5: Genel Çözümü Yazma
- Sinüs fonksiyonu $2\pi$ periyotlu olduğu için, bulduğumuz bu temel çözümlere $2k\pi$ ekleyerek genel çözümü elde ederiz. Burada $k$, bir tam sayıdır ($k \in \mathbb{Z}$).
- $x = 4\pi/3 + 2k\pi$
- $x = 5\pi/3 + 2k\pi$
Bu çözümler, verilen seçeneklerden A seçeneği ile birebir uyuşmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
