AYT Matematik deneme çöz Test 1

f(x) = 3x² - 12x + 5 fonksiyonunun minimum değeri kaçtır?

A) -7
B) -5
C) -3
D) -1
E) 1

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir parabolün, yani ikinci dereceden bir fonksiyonun minimum değerini bulmamız isteniyor. Hadi adım adım bu değeri nasıl bulacağımızı öğrenelim.

• 1. Fonksiyonu Tanıyalım:

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = 3x^2 - 12x + 5$ şeklindedir. Bu, genel olarak $ax^2 + bx + c$ formunda bir ikinci dereceden fonksiyondur. Bu tür fonksiyonların grafikleri bir paraboldür.

  Burada katsayılarımızı belirleyelim:

  • $a = 3$
  • $b = -12$
  • $c = 5$

  Parabolün kollarının yönünü belirleyen katsayı $a$'dır. Eğer $a > 0$ ise parabolün kolları yukarı doğru açılır ve bu durumda fonksiyonun bir minimum değeri vardır. Bizim fonksiyonumuzda $a = 3$ olduğu için ($3 > 0$), parabolün kolları yukarı doğrudur ve bir minimum değere sahiptir.

• 2. Minimum Değerin Bulunduğu x Değerini (Tepe Noktasının Apsisini) Bulalım:

  Bir parabolün minimum (veya maksimum) değeri, tepe noktasında bulunur. Tepe noktasının x-koordinatı (apsisi) için özel bir formülümüz var:

  $x_{tepe} = -\frac{b}{2a}$

  Şimdi bu formülde $a$ ve $b$ değerlerini yerine koyalım:

  $x_{tepe} = -\frac{(-12)}{2 \cdot 3}$

  $x_{tepe} = -\frac{(-12)}{6}$

  $x_{tepe} = -(-2)$

  $x_{tepe} = 2$

  Demek ki fonksiyonumuzun minimum değeri, $x = 2$ noktasında gerçekleşiyor.

• 3. Minimum Değeri (Tepe Noktasının Ordinatını) Hesaplayalım:

  Minimum değeri bulmak için, $x_{tepe} = 2$ değerini orijinal fonksiyonumuz olan $f(x) = 3x^2 - 12x + 5$ içine yerleştirmemiz gerekiyor. Yani $f(2)$'yi hesaplayacağız:

  $f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 5$

  $f(2) = 3(4) - 24 + 5$

  $f(2) = 12 - 24 + 5$

  $f(2) = -12 + 5$

  $f(2) = -7$

  İşte fonksiyonumuzun minimum değeri $-7$'dir.

Bu adımları takip ederek, ikinci dereceden bir fonksiyonun minimum veya maksimum değerini kolayca bulabiliriz. Unutmayın, $a$ katsayısı pozitifse minimum, negatifse maksimum değer vardır.

Cevap A seçeneğidir.