AYT Matematik deneme çöz Test 1

log₂(x-1) + log₂(x+1) = 3 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {2}
B) {3}
C) {4}
D) {5}
E) {6}

Bugün sizlerle birlikte logaritma denklemlerini nasıl çözeceğimizi adım adım öğreneceğiz. Denklemleri çözerken dikkat etmemiz gereken bazı önemli noktalar var. Hazırsanız başlayalım!

• 1. Adım: Logaritmanın Tanım Kümesini Belirleyelim

  Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir. Yani, $\log_b A$ ifadesinde $A > 0$ olmalıdır.

  Verilen denklemde iki adet logaritma ifadesi var: $\log_2(x-1)$ ve $\log_2(x+1)$.

  Bu durumda, $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ olmalıdır.

  Ve $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$ olmalıdır.

  Her iki koşulu da sağlayan $x$ değerleri için $x > 1$ olmalıdır. Bu, bulduğumuz çözümleri kontrol etmek için çok önemli bir adımdır.

• 2. Adım: Logaritma Özelliklerini Kullanarak Denklemi Sadeleştirelim

  Logaritmanın önemli özelliklerinden biri, aynı tabana sahip iki logaritmanın toplamını tek bir logaritma olarak yazabilmemizdir: $\log_b M + \log_b N = \log_b (M \cdot N)$.

  Denklemimiz: $\log_2(x-1) + \log_2(x+1) = 3$.

  Bu özelliği uygulayarak denklemi şu şekilde yazabiliriz: $\log_2((x-1)(x+1)) = 3$.

  Parantez içindeki ifadeyi çarparsak, $(x-1)(x+1)$ ifadesi iki kare farkı özdeşliğinden $x^2 - 1$ olur.

  Denklemimiz şimdi $\log_2(x^2 - 1) = 3$ şeklini aldı.

• 3. Adım: Logaritma Denklemini Üstel Denkleme Dönüştürelim

  Logaritmanın tanımına göre, $\log_b M = P$ ise $b^P = M$ şeklindedir.

  Bizim denklemimizde taban $b=2$, logaritmanın sonucu $P=3$ ve logaritması alınan ifade $M=x^2-1$.

  Bu tanımı kullanarak denklemi $2^3 = x^2 - 1$ şeklinde yazabiliriz.

• 4. Adım: Oluşan Cebirsel Denklemi Çözelim

  Şimdi elimizde basit bir cebirsel denklem var: $2^3 = x^2 - 1$.

  $2^3$ değeri $8$'e eşittir. Yani denklem $8 = x^2 - 1$ olur.

  $-1$'i denklemin sol tarafına atarsak, $8 + 1 = x^2$ olur.

  Bu da $9 = x^2$ demektir.

  $x^2 = 9$ denkleminin iki çözümü vardır: $x=3$ ve $x=-3$.

• 5. Adım: Bulduğumuz Çözümleri Tanım Kümesi ile Karşılaştıralım

  En başta belirlediğimiz tanım kümesi koşulunu hatırlayalım: $x > 1$ olmalıydı.

  Bulduğumuz çözümlerden ilki $x=3$. Bu değer $1$'den büyüktür ($3 > 1$). Dolayısıyla $x=3$ denklemin bir çözümüdür.

  İkinci çözümümüz $x=-3$. Bu değer $1$'den büyük değildir ($-3 \ngtr 1$). Bu nedenle $x=-3$ denklemin çözüm kümesine dahil edilemez. Eğer $x=-3$ değerini orijinal denklemde yerine yazsaydık, $\log_2(-3-1) = \log_2(-4)$ gibi tanımsız ifadelerle karşılaşırdık.

• Çözüm Kümesi:

  Denklemin çözüm kümesi sadece $x=3$ değerinden oluşmaktadır.

Cevap B seçeneğidir.