AYT Matematik deneme çöz Test 1

x² - 5x + 6 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂'dir. x₁² + x₂² ifadesinin değeri kaçtır?

A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, ikinci dereceden bir denklemin kökleri arasındaki ilişkiyi kullanarak belirli bir ifadenin değerini bulacağız. Bu tür soruları çözerken, kökler ve katsayılar arasındaki Vieta (Vietalı) bağıntılarını hatırlamak çok işimize yarar. Haydi adım adım çözelim:

• Öncelikle verilen denklemi inceleyelim: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Bu, genel $ax^2 + bx + c = 0$ şeklindeki bir ikinci dereceden denklemdir. Burada katsayılarımız $a=1$, $b=-5$ ve $c=6$'dır.

• İkinci dereceden bir denklemin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise, Vieta bağıntılarına göre kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki gibi bulunur:

  • Kökler toplamı: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
  • Kökler çarpımı: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

• Şimdi bu bağıntıları kendi denklemimize uygulayalım:

  • Kökler toplamı: $x_1 + x_2 = -\frac{(-5)}{1} = 5$
  • Kökler çarpımı: $x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{1} = 6$

• Bizden istenen ifade $x_1^2 + x_2^2$'nin değeridir. Bu ifadeyi kökler toplamı ve kökler çarpımı cinsinden yazabiliriz. Hatırlayalım ki, $(x_1 + x_2)^2$ ifadesinin açılımı $x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$'dir. Buradan $x_1^2 + x_2^2$ ifadesini yalnız bırakırsak:

  • $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

• Şimdi bulduğumuz kökler toplamı ($x_1 + x_2 = 5$) ve kökler çarpımı ($x_1 \cdot x_2 = 6$) değerlerini bu formülde yerine koyalım:

  • $x_1^2 + x_2^2 = (5)^2 - 2(6)$
  • $x_1^2 + x_2^2 = 25 - 12$
  • $x_1^2 + x_2^2 = 13$

• Böylece $x_1^2 + x_2^2$ ifadesinin değerini $13$ olarak bulmuş olduk.

Cevap D seçeneğidir.