\( f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x} \) ifadesi veriliyor.
Bu ifade ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Bu soruda, verilen bir ifadenin polinom olup olmadığını belirlememiz isteniyor. Bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için öncelikle polinom tanımını hatırlayalım.
Bir polinom, değişkenlerin sadece toplama, çıkarma, çarpma ve negatif olmayan tam sayı üslerini içeren bir cebirsel ifadedir. Yani, bir polinomda değişkenler (örneğin $x$) paydada bulunamaz, kök içinde olamaz veya üssü negatif ya da kesirli olamaz. Her terimin değişkeninin üssü bir doğal sayı (0, 1, 2, 3, ...) olmalıdır.
İfademiz $ f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x} $ şeklindedir.
Bu ifadeyi daha net görebilmek için paydaki her terimi paydaya bölebiliriz:
$ f(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{2x}{x} + \frac{1}{x} $
$ f(x) = x + 2 + \frac{1}{x} $
Sadeleştirdiğimiz ifade $ x + 2 + \frac{1}{x} $ şeklindedir. Bu ifadede $ \frac{1}{x} $ terimi bulunmaktadır. $ \frac{1}{x} $ terimi, $ x^{-1} $ olarak da yazılabilir. Polinom tanımına göre, değişkenlerin üsleri negatif olamaz ve değişken paydada bulunamaz. $ \frac{1}{x} $ teriminde değişken $x$ paydada yer aldığı için veya üssü negatif ($x^{-1}$) olduğu için bu ifade bir polinom değildir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
A) Bir polinomdur çünkü pay ve payda polinomdur.
Yanlış. Pay ve paydanın polinom olması, kesrin kendisinin bir polinom olacağı anlamına gelmez. Bu tür ifadelere rasyonel ifadeler denir. Bir rasyonel ifadenin polinom olması için paydanın sadeleşme sonucunda tamamen ortadan kalkması ve geriye kalan ifadenin polinom tanımına uyması gerekir.
B) Bir polinomdur çünkü sadeleştirilince $ x + 2 + \frac{1}{x} $ olur.
Yanlış. İfade doğru sadeleştirilmiş olsa da, $ x + 2 + \frac{1}{x} $ bir polinom değildir çünkü $ \frac{1}{x} $ terimi polinom tanımına aykırıdır.
C) Bir polinom değildir çünkü değişken paydada yer alır.
Doğru. Sadeleştirilmiş hali olan $ x + 2 + \frac{1}{x} $ ifadesinde, $ \frac{1}{x} $ teriminde $x$ değişkeni paydada yer almaktadır. Bu durum, ifadenin polinom olmasını engeller.
D) Bir polinom değildir çünkü derecesi negatiftir.
Yanlış. Bir polinomun derecesi her zaman negatif olmayan bir tam sayıdır. Burada $ x^{-1} $ terimi bir negatif üs içerse de, ifadenin tamamının "derecesi negatiftir" demek yerine, "polinom değildir çünkü bir terimin değişkeninin üssü negatiftir" veya "değişken paydada yer alır" demek daha doğru ve temel bir açıklamadır.
Bu nedenle, verilen ifade bir polinom değildir.
Cevap C seçeneğidir.
