Dik üçgende yükseklik (Öklid) Test 1

ABC dik üçgeninde [AB] ⊥ [AC], [AH] ⊥ [BC]'dir. |BH| = 2 cm ve |HC| = 8 cm olduğuna göre |AB| : |AC| oranı kaçtır?

A) 1:2
B) 1:3
C) 1:4
D) 1:√2

Bu soruda bir dik üçgende Öklid Bağıntılarını kullanarak kenar uzunlukları oranını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:

  Bize bir $ABC$ dik üçgeni verilmiş. Dik açı $A$ köşesindedir ($[AB] \perp [AC]$). Ayrıca, $A$ köşesinden hipotenüs $BC$'ye bir dikme ($AH$) indirilmiş ($[AH] \perp [BC]$). Bu durumda $H$ noktası $BC$ üzerindedir.

  Hipotenüs üzerindeki parçaların uzunlukları şunlardır: $|BH| = 2$ cm ve $|HC| = 8$ cm. Bizden $|AB| : |AC|$ oranını bulmamız isteniyor.

• 2. Öklid Bağıntılarını Hatırlayalım:

  Bir dik üçgende dik köşeden hipotenüse dikme indirildiğinde oluşan bağıntılara Öklid Bağıntıları denir. Bu bağıntılardan iki tanesi, dik kenarların uzunluklarını hipotenüs üzerindeki parçalar ve tüm hipotenüs cinsinden verir:

  1. $|AB|^2 = |BH| \cdot |BC|$ (Dik kenarın karesi, kendi tarafındaki hipotenüs parçası ile tüm hipotenüsün çarpımına eşittir.)

  2. $|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|$ (Diğer dik kenarın karesi, kendi tarafındaki hipotenüs parçası ile tüm hipotenüsün çarpımına eşittir.)

• 3. Hipotenüs Uzunluğunu Bulalım:

  Hipotenüs $BC$'nin uzunluğu, $BH$ ve $HC$ parçalarının toplamıdır:

  $|BC| = |BH| + |HC|$

  $|BC| = 2 + 8$

  $|BC| = 10$ cm

• 4. $|AB|$ Uzunluğunu Bulalım:

  Öklid Bağıntısını kullanarak $|AB|$'yi hesaplayalım:

  $|AB|^2 = |BH| \cdot |BC|$

  $|AB|^2 = 2 \cdot 10$

  $|AB|^2 = 20$

  $|AB| = \sqrt{20}$

  $|AB| = \sqrt{4 \cdot 5}$

  $|AB| = 2\sqrt{5}$ cm

• 5. $|AC|$ Uzunluğunu Bulalım:

  Diğer Öklid Bağıntısını kullanarak $|AC|$'yi hesaplayalım:

  $|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|$

  $|AC|^2 = 8 \cdot 10$

  $|AC|^2 = 80$

  $|AC| = \sqrt{80}$

  $|AC| = \sqrt{16 \cdot 5}$

  $|AC| = 4\sqrt{5}$ cm

• 6. Oranı Hesaplayalım:

  Şimdi bizden istenen $|AB| : |AC|$ oranını bulalım:

  $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$

  Pay ve paydadaki $\sqrt{5}$ terimleri sadeleşir:

  $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{2}{4}$

  Kesri sadeleştirelim:

  $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{1}{2}$

  Yani oran $1:2$'dir.

Cevap A seçeneğidir.