Dik üçgende yükseklik (Öklid)

Question

Kenara ait yüksekliği nasıl bulacağımı tam olarak anlayamadım. Hipotenüse ait yüksekliği hesaplamak için formülde hangi değerleri kullanmam gerekiyor? Özellikle benzerlik bağıntılarını nereye uygulayacağım kafam karıştı.

Answer 1

Dik Üçgende Yükseklik ve Öklid Bağıntıları

Bir dik üçgende, dik köşeden hipotenüse çizilen yükseklik, üçgenin en önemli elemanlarından biridir ve Öklid (Euclid) tarafından bulunan bazı önemli bağıntıların ortaya çıkmasını sağlar.

Temel Elemanlar

Aşağıdaki ABC dik üçgenini düşünelim:

• A noktası dik açıdır (\( \widehat{A} = 90° \))
• [BC] hipotenüstür (en uzun kenar).
• [AH], A köşesinden hipotenüse indirilen yüksekliktir.
• Yükseklik, hipotenüsü H noktasında dik keser.

Yükseklik, hipotenüsü iki parçaya böler. Bu parçalara hipotenüsün dik izdüşümleri veya dik kenarların izdüşümleri denir.

• BH = p (AB dik kenarının hipotenüs üzerindeki izdüşümü)
• HC = k (AC dik kenarının hipotenüs üzerindeki izdüşümü)

Öklid Bağıntıları

Yükseklik ve kenarlar arasında kurulan bu bağıntılara Öklid Bağıntıları denir. Temel olarak iki önemli bağıntı vardır:

1. Yükseklik Bağıntısı

Dik köşeden indirilen yüksekliğin uzunluğu, hipotenüsün iki parçasının uzunluklarının geometrik ortasına eşittir.

\( h^2 = p \cdot k \)

Yani: (Yükseklik)² = (Bir parça) x (Diğer parça)

2. Dik Kenar Bağıntıları

Bir dik kenarın uzunluğunun karesi, kendisinin hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün tamamının uzunluğunun çarpımına eşittir.

• \( c^2 = p \cdot a \)
• \( b^2 = k \cdot a \)

Burada;

• a hipotenüsün uzunluğudur (BC).
• c AB dik kenarının uzunluğudur.
• b AC dik kenarının uzunluğudur.

Örnek Uygulama

Bir dik üçgende hipotenüs 10 cm ve hipotenüs üzerinde yüksekliğin ayırdığı parçalar 4 cm ve 6 cm olsun.

• Yüksekliği bulmak için: \( h^2 = p \cdot k = 4 \cdot 6 = 24 \) → \( h = 2\sqrt{6} \) cm
• Dik kenarlardan birini bulmak için (4 cm'lik izdüşüme sahip olan): \( c^2 = p \cdot a = 4 \cdot 10 = 40 \) → \( c = 2\sqrt{10} \) cm

Bu bağıntılar, dik üçgenlerde bilinmeyen kenar uzunluklarını ve yüksekliği bulmak için sıkça kullanılan temel geometri kurallarıdır.