Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman 180 derecedir. Bu, geometrinin temel ve değişmez kurallarından biridir.
Bu kuralı anlamanın en kolay yollarından biri aşağıdaki gibi görselleştirmektir:
Bir doğru açı ise 180° olduğu için, üçgenin iç açıları toplamının da 180° olduğu sonucuna varırız.
Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse, bir ABC üçgeni için:
\( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180° \)
İki iç açısının ölçüsü 50° ve 70° olan bir üçgenin bilinmeyen üçüncü iç açısı kaç derecedir?
Çözüm:
Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğuna göre:
50° + 70° + \( \widehat{C} \) = 180°
120° + \( \widehat{C} \) = 180°
\( \widehat{C} \) = 180° - 120°
\( \widehat{C} \) = 60°
Bir üçgenin iç açılarından biri 100°, diğeri 35° ise, üçüncü açı kaç derecedir?
Çözüm:
100° + 35° + \( \widehat{X} \) = 180°
135° + \( \widehat{X} \) = 180°
\( \widehat{X} \) = 180° - 135°
\( \widehat{X} \) = 45°
Bir dik üçgende dar açılardan biri 25° ise, diğer dar açı kaç derecedir?
Çözüm:
Dik üçgende bir açı 90° dir. Diğer iki açı da dardır.
90° (dik açı) + 25° + \( \widehat{A} \) = 180°
115° + \( \widehat{A} \) = 180°
\( \widehat{A} \) = 180° - 115°
\( \widehat{A} \) = 65°
Bu kural sadece üçgenler için geçerlidir. Dörtgen, beşgen gibi çokgenlerin iç açıları toplamı farklıdır ve kenar sayısına göre değişir.
Soru 1: Bir üçgenin iç açılarından ikisinin ölçüsü sırasıyla \(2x + 10^\circ\) ve \(3x - 20^\circ\)'dir. Üçüncü açının ölçüsü \(110^\circ\) olduğuna göre, x kaçtır?
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
Cevap: d) 16
Çözüm: Bir üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\)'dir. Buna göre denklem: \((2x + 10) + (3x - 20) + 110 = 180\). Bu denklemi çözersek: \(5x + 100 = 180\) → \(5x = 80\) → \(x = 16\).
Soru 2: Bir ABC üçgeninde, \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})\)'dir. Buna göre, \(m(\widehat{A})\) kaç derecedir?
a) 30 b) 60 c) 90 d) 100 e) 120
Cevap: c) 90
Çözüm: Verilene göre \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})\)'dir. Ayrıca üçgenin iç açıları toplamı \(m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\)'dir. İkinci denklemde \(m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})\) yerine \(m(\widehat{A})\) yazarsak: \(m(\widehat{A}) + m(\widehat{A}) = 180^\circ\) → \(2m(\widehat{A}) = 180^\circ\) → \(m(\widehat{A}) = 90^\circ\).
Soru 3: İki iç açısının ölçüleri oranı 2/3 olan bir üçgenin, bu iki açıdan küçük olanı kaç derecedir?
a) 36 b) 40 c) 48 d) 54 e) 60
Cevap: a) 36
Çözüm: Açılardan birine \(2k\), diğerine \(3k\) diyelim. Üçüncü açıya \(x\) dersek, \(2k + 3k + x = 180^\circ\) → \(5k + x = 180^\circ\). \(x\)'in en küçük değeri için \(k\)'yı bulmalıyız. \(x > 0\) olduğundan, \(5k < 180\) → \(k < 36\). \(k = 18\) için küçük açı \(2k = 36^\circ\) olur ve üçüncü açı \(x = 180 - 5*18 = 90^\circ\) olur. Bu bir üçgen oluşturur.
Soru 4: Bir üçgenin iç açıları \(4\), \(5\) ve \(9\) sayıları ile doğru orantılıdır. Buna göre, bu üçgenin en büyük dış açısı kaç derecedir?
a) 90 b) 120 c) 150 d) 160 e) 180
Cevap: c) 150
Çözüm: Açılar \(4k\), \(5k\) ve \(9k\) olur. İç açılar toplamı: \(4k + 5k + 9k = 18k = 180^\circ\) → \(k = 10^\circ\). En büyük iç açı \(9k = 90^\circ\)'dir. Bir açının dış açısı \(180^\circ\) - iç açısı olduğundan, en büyük iç açıya komşu olan dış açı \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\) olur. Ancak en küçük iç açıya (\(4k=40^\circ\)) komşu olan dış açı \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\), diğer iç açıya (\(5k=50^\circ\)) komşu olan dış açı ise \(180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\)'dir.
