Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir logaritma denklemini çözerek $x$ değerini bulmamız isteniyor. Logaritma denklemlerini çözerken en temel kural, logaritmanın tanımını kullanmaktır. Haydi adım adım ilerleyelim:
- 1. Logaritmanın Tanımını Hatırlayalım:
Eğer bir logaritma ifadesinde taban belirtilmemişse, genellikle bu tabanın $10$ olduğu kabul edilir (buna bayağı logaritma denir). Yani, $\log(A) = B$ ifadesi, $\log_{10}(A) = B$ anlamına gelir. Logaritmanın tanımına göre, $\log_b a = c$ ise, bu $b^c = a$ demektir.
- 2. Denklemi Logaritma Tanımına Göre Yeniden Yazalım:
Verilen denklem $\log(2x + 1) = 2$. Taban $10$ olduğu için, bu denklemi üslü ifadeye çevirirsek:
$10^2 = 2x + 1$
- 3. Üslü İfadeyi Hesaplayalım:
$10^2$ demek $10$ çarpı $10$ demektir.
$100 = 2x + 1$
- 4. Denklemi Çözerek $x$ Değerini Bulalım:
Şimdi elimizde basit bir doğrusal denklem var. $x$'i yalnız bırakmak için adımları takip edelim:
Önce her iki taraftan $1$ çıkaralım:
$100 - 1 = 2x + 1 - 1$
$99 = 2x$
Şimdi her iki tarafı $2$'ye bölelim:
$\frac{99}{2} = \frac{2x}{2}$
$x = \frac{99}{2}$
- 5. $x$ Değerini Ondalık Sayıya Çevirelim:
$x = 49.5$
- 6. Çözümün Geçerliliğini Kontrol Edelim:
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir. Yani, $2x + 1 > 0$ olmalıdır.
Bulduğumuz $x = 49.5$ değerini yerine koyalım:
$2(49.5) + 1 = 99 + 1 = 100$.
$100 > 0$ olduğu için çözümümüz geçerlidir.
Buna göre, denklemin çözüm kümesi $\{49.5\}$'tir.
Cevap A seçeneğidir.
