Logaritma AYT Test 1

log₂(x - 1) + log₂(x + 1) = 3 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {3}
B) {-3, 3}
C) {4}
D) {-4, 4}
E) {5}

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, logaritma denklemlerini çözerken dikkat etmemiz gereken önemli adımları birlikte inceleyeceğiz. Özellikle logaritmanın tanım kümesini göz önünde bulundurmak, doğru sonuca ulaşmak için kritik öneme sahiptir.

• 1. Adım: Logaritmanın Tanım Kümesini Belirleyelim.

  Logaritmalı ifadelerin tanımlı olabilmesi için logaritmanın içindeki ifadelerin pozitif olması gerekir. Yani:

  • $x - 1 > 0 \implies x > 1$
  • $x + 1 > 0 \implies x > -1$

  Bu iki koşulun da aynı anda sağlanması için $x$ değerinin $x > 1$ olması zorunludur. Bulacağımız çözümün bu aralıkta olup olmadığını kontrol etmeyi unutmayalım.

• 2. Adım: Logaritma Özelliğini Kullanarak Denklemi Sadeleştirelim.

  Logaritmanın temel özelliklerinden biri, aynı tabandaki logaritmaların toplamının, içlerinin çarpımının logaritmasına eşit olmasıdır: $\log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N)$. Bu özelliği denklemimize uygulayalım:

  $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 1) = 3$

  $\log_2((x - 1)(x + 1)) = 3$

• 3. Adım: Logaritma Denklemini Üstel Forma Çevirelim.

  Bir logaritma denklemini üstel forma çevirerek daha kolay çözebiliriz. $\log_a b = c$ ise $a^c = b$ şeklindedir. Denklemimizi bu kurala göre düzenleyelim:

  $2^3 = (x - 1)(x + 1)$

• 4. Adım: Denklemi Çözerek $x$ Değerlerini Bulalım.

  Şimdi denklemi cebirsel olarak çözelim. Sağ taraftaki ifade iki kare farkı özdeşliğidir: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

  $8 = x^2 - 1^2$

  $8 = x^2 - 1$

  $x^2 = 8 + 1$

  $x^2 = 9$

  Bu denklemin iki olası çözümü vardır:

  • $x = \sqrt{9} \implies x = 3$
  • $x = -\sqrt{9} \implies x = -3$
• 5. Adım: Bulduğumuz Çözümleri Tanım Kümesiyle Karşılaştıralım.

  En başta belirlediğimiz tanım kümesi koşulu $x > 1$ idi. Şimdi bulduğumuz $x$ değerlerinin bu koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:

  • $x = 3$: Bu değer $3 > 1$ koşulunu sağlar. Dolayısıyla $x = 3$ geçerli bir çözümdür.
  • $x = -3$: Bu değer $-3 > 1$ koşulunu sağlamaz. Eğer $x = -3$ olsaydı, $\log_2(x-1)$ ifadesi $\log_2(-3-1) = \log_2(-4)$ olurdu ki bu tanımsızdır. Bu nedenle $x = -3$ geçerli bir çözüm değildir.
• 6. Adım: Çözüm Kümesini Belirleyelim.

  Denklemi sağlayan ve tanım kümesine uygun tek değer $x = 3$'tür.

  Çözüm kümesi: $\{3\}$

Cevap A seçeneğidir.