lim(x→3) (x² - 9)/(x - 3) limitinin değeri nedir?
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir rasyonel ifadenin limitini bulmamız isteniyor. Limit problemlerinde ilk adımımız genellikle $x$ değerini doğrudan fonksiyonda yerine koymaktır. Bakalım bu bize ne sonuç verecek.
Verilen limit ifadesi $\lim_{x\to3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ şeklindedir. Eğer $x=3$ değerini doğrudan fonksiyonda yerine koyarsak:
Pay kısmı: $3^2 - 9 = 9 - 9 = 0$
Payda kısmı: $3 - 3 = 0$
Bu durumda $\frac{0}{0}$ belirsizliği ile karşılaşırız. Bu belirsizlik, limitin var olmadığı anlamına gelmez; sadece ifadeyi sadeleştirmemiz veya başka bir yöntem kullanmamız gerektiğini gösterir.
Belirsizliği gidermek için genellikle pay veya paydayı (ya da her ikisini) çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yoluna gideriz. Pay kısmındaki $x^2 - 9$ ifadesi, bir "iki kare farkı" özdeşliğidir. İki kare farkı özdeşliği şöyledir: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Burada $a = x$ ve $b = 3$ olduğundan, $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Şimdi limit ifadesini yeniden yazalım:
$\lim_{x\to3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3}$
Limit alırken $x \to 3$ demek, $x$'in $3$'e çok yaklaştığı ancak tam olarak $3$ olmadığı anlamına gelir. Bu nedenle $x - 3 \neq 0$ diyebiliriz. Bu durumda pay ve paydadaki $(x - 3)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:
$\frac{\cancel{(x - 3)}(x + 3)}{\cancel{(x - 3)}} = x + 3$
Böylece limit alacağımız ifade $x + 3$ haline gelir.
Şimdi sadeleştirilmiş ifadeye limiti uygulayabiliriz:
$\lim_{x\to3} (x + 3)$
Bu ifade bir polinom olduğu için, $x=3$ değerini doğrudan yerine koyarak limiti bulabiliriz:
$3 + 3 = 6$
Bu durumda, limitin değeri $6$'dır.
Cevap C seçeneğidir.
